Intervalos de confianza para la proporción y tamaño muestral

**a) (1.5 puntos) Si los estándares de calidad de dicha empresa requieren que al menos el 88% de los envíos sean entregados a tiempo, estime, mediante un intervalo de confianza al 93%, si la empresa de transporte cumple con los estándares de calidad.** En primer lugar, extraemos los datos de la muestra analizada: - Tamaño de la muestra ($n$): $400$ - Número de envíos a tiempo ($x$): $370$ Calculamos la proporción muestral $\hat{p}$: $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{370}{400} = 0.925$$ Y la proporción complementaria $\hat{q}$: $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.925 = 0.075$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral $\hat{p}$ representa el porcentaje de éxito en nuestra muestra, y siempre se cumple que $\hat{p} + \hat{q} = 1$.

Para un nivel de confianza del $93\%$, tenemos que $1 - \alpha = 0.93$. Calculamos el valor de $\alpha$: $$\alpha = 1 - 0.93 = 0.07 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.035$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 0.965$. Consultando la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$: $$P(Z \le 1.81) = 0.9649$$ $$P(Z \le 1.82) = 0.9656$$ Tomamos el valor más aproximado (o realizamos interpolación), en este caso $z_{\alpha/2} \approx 1.81$. 💡 **Tip:** El nivel de confianza indica la probabilidad de que el verdadero parámetro poblacional se encuentre dentro del intervalo que vamos a calcular.

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}, \quad \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} = 1.81 \cdot \sqrt{\frac{0.925 \cdot 0.075}{400}} = 1.81 \cdot \sqrt{0.0001734} \approx 1.81 \cdot 0.01317 = 0.0238$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $0.925 - 0.0238 = 0.9012$ - Límite superior: $0.925 + 0.0238 = 0.9488$ $$I.C. = (0.9012, \quad 0.9488)$$ Como el estándar de calidad exige al menos un $88\%$ ($0.88$) y todo nuestro intervalo está por encima de ese valor (el valor mínimo estimado es $90.12\%$), podemos concluir que la empresa **sí cumple** los estándares. ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (0.9012, \, 0.9488) \implies \text{Cumple los estándares}}$$

**b) (1 punto) Si se mantiene la misma proporción muestral y se aumenta el nivel de confianza al 95%, ¿cuántos envíos, como mínimo, habrá que analizar para que la amplitud del intervalo de confianza sea inferior a 0.03?** Datos para este apartado: - Confianza: $95\% \implies 1 - \alpha = 0.95 \implies z_{\alpha/2} = 1.96$ (valor estándar). - Proporción muestral: $\hat{p} = 0.925$ y $\hat{q} = 0.075$. - Amplitud ($A$) $\lt 0.03$. 💡 **Tip:** La amplitud de un intervalo de confianza es el doble del error ($A = 2E$). Por tanto, si la amplitud debe ser inferior a $0.03$, el error debe ser inferior a $0.015$. $$2E \lt 0.03 \implies E \lt 0.015$$

Utilizamos la fórmula del error para despejar $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \implies 0.015 \gt 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.925 \cdot 0.075}{n}}$$ Elevamos al cuadrado para eliminar la raíz: $$0.015^2 \gt 1.96^2 \cdot \frac{0.925 \cdot 0.075}{n}$$ $$0.000225 \gt 3.8416 \cdot \frac{0.069375}{n}$$ Despejamos $n$: $$n \gt \frac{3.8416 \cdot 0.069375}{0.000225}$$ $$n \gt \frac{0.26651}{0.000225} \approx 1184.49$$ Como $n$ debe ser un número entero y mayor que $1184.49$, el número mínimo de envíos es $1185$. 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, siempre debemos redondear el resultado al siguiente número entero superior para garantizar que se cumple la restricción de error o amplitud. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 1185 \text{ envíos}}$$