Distribución normal, muestreo e intervalos de confianza

**a) (1.25 puntos) El tiempo que un carpintero necesita para fabricar una mesa sigue una distribución Normal de media 60 minutos y desviación típica de 30 minutos. Si en un mes ese carpintero ha fabricado 100 mesas, calcule la probabilidad de que el tiempo medio de fabricación de las mesas de esa muestra sea superior a 54 minutos.** En primer lugar, definimos la variable aleatoria $X$ como el tiempo (en minutos) necesario para fabricar una mesa: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(60, 30)$$ Como estamos analizando una muestra de $n = 100$ mesas, la variable que nos interesa es la **media muestral** $\bar{X}$. Según el Teorema del Límite Central, la distribución de la media muestral sigue una normal: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Calculamos la desviación típica de la media muestral: $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{30}{\sqrt{100}} = \frac{30}{10} = 3$$ Por tanto, la media muestral se distribuye como: $$\boxed{\bar{X} \sim N(60, 3)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para muestras grandes ($n \ge 30$) o si la población original es normal, la media muestral siempre sigue una distribución normal con la misma media y desviación típica $\sigma/\sqrt{n}$.

Queremos hallar la probabilidad de que el tiempo medio sea superior a 54 minutos, es decir, $P(\bar{X} \gt 54)$. Para calcularlo, debemos **tipificar** la variable para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ usando la fórmula $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{x}}}$: $$P(\bar{X} \gt 54) = P\left(Z \gt \frac{54 - 60}{3}\right) = P\left(Z \gt \frac{-6,0}{3}\right) = P(Z \gt -2)$$ Por simetría de la campana de Gauss, $P(Z \gt -2) = P(Z \le 2)$. Buscamos este valor en la tabla de la distribución normal estándar: $$P(Z \le 2) = 0,9772$$ ✅ **Resultado (probabilidad):** $$\boxed{P(\bar{X} \gt 54) = 0,9772}$$ 💡 **Tip:** Al buscar en la tabla, si el valor es negativo $P(Z \gt -a)$, aprovechamos que es igual a $P(Z \lt a)$ por la simetría de la distribución.

**b) (1.25 puntos) El tiempo que un carpintero necesita para fabricar una puerta sigue una distribución Normal de media desconocida y desviación típica de 20 minutos. En un mes ese carpintero ha fabricado 25 puertas, obteniendo un tiempo medio de fabricación de 40 minutos. Halle un intervalo de confianza para el tiempo medio de fabricación de una puerta con un nivel de confianza del 97%. Determine el error máximo cometido al realizar la estimación.** Identificamos los datos del problema: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 20$ - Tamaño de la muestra: $n = 25$ - Media muestral: $\bar{x} = 40$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,97$ Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $\alpha = 1 - 0,97 = 0,03$ 2. $\alpha/2 = 0,015$ 3. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,015 = 0,985$ Mirando en la tabla de la normal, el valor que corresponde a una probabilidad de $0,985$ es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2,17}$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es aquel que deja un área de $\alpha/2$ en cada extremo de la distribución.

El error máximo admisible $E$ viene dado por la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$E = 2,17 \cdot \frac{20}{\sqrt{25}} = 2,17 \cdot \frac{20}{5}$$ $$E = 2,17 \cdot 4 = 8,68$$ ✅ **Resultado (error máximo):** $$\boxed{E = 8,68 \text{ minutos}}$$

El intervalo de confianza para la media se calcula como: $$I.C. = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$$ Sustituyendo los valores: $$I.C. = (40 - 8,68, 40 + 8,68)$$ $$I.C. = (31,32, 48,68)$$ ✅ **Resultado (intervalo):** $$\boxed{I.C. = (31,32, 48,68)}$$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza nos indica que el tiempo medio real de fabricación de una puerta estará comprendido entre 31,32 y 48,68 minutos con una seguridad del 97%.