Optimización de producción agrícola (Programación Lineal)

Para resolver este problema de programación lineal, primero debemos identificar qué es lo que queremos calcular (las incógnitas) y qué es lo que queremos maximizar. Definimos las variables: - $x$: número de hectáreas de olivar de **secano**. - $y$: número de hectáreas de olivar de **regadío**. Queremos maximizar la producción total anual, que llamaremos $P(x, y)$. Según el enunciado, la producción por hectárea es de $5000\ kg$ en secano y $10000\ kg$ en regadío. Por tanto, la **función objetivo** es: $$\boxed{P(x, y) = 5000x + 10000y}$$ 💡 **Tip:** En los problemas de programación lineal, las variables suelen representar cantidades de productos, hectáreas o tiempos, y siempre deben ser mayores o iguales a cero (a menos que el enunciado indique lo contrario).

A continuación, traducimos las limitaciones de recursos y las condiciones del enunciado en desigualdades matemáticas (inecuaciones): 1. **Superficie mínima de secano**: Debe mantener un mínimo de 20 ha de secano. $$x \ge 20$$ 2. **Agua disponible**: Dispone de $30000\ m^3$. Solo el regadío consume agua ($1500\ m^3/ha$). $$1500y \le 30000 \implies y \le \frac{30000}{1500} \implies y \le 20$$ 3. **Abono**: Dispone de $5500\ kg$. El secano usa $100\ kg/ha$ y el regadío $110\ kg/ha$. $$100x + 110y \le 5500 \implies 10x + 11y \le 550$$ 4. **Productos fitosanitarios**: Dispone de $3000\ kg$. El secano usa $50\ kg/ha$ y el regadío $80\ kg/ha$. $$50x + 80y \le 3000 \implies 5x + 8y \le 300$$ 5. **No negatividad**: Obviamente, no puede haber hectáreas negativas. $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ En resumen, el sistema de restricciones es: $$\begin{cases} x \ge 20 \\ y \ge 0 \\ y \le 20 \\ 10x + 11y \le 550 \\ 5x + 8y \le 300 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Simplificar las inecuaciones dividiendo por el máximo común divisor ayuda a trabajar con números más manejables al dibujar y calcular vértices.

La región factible es el polígono formado por los puntos que cumplen todas las restricciones. Los puntos óptimos se encuentran en sus vértices. Vamos a calcularlos intersecando las rectas correspondientes: - **Vértice A**: Intersección de $x = 20$ y $y = 0$. $$A(20, 0)$$ - **Vértice B**: Intersección de $x = 20$ y $y = 20$. $$B(20, 20)$$ - **Vértice C**: Intersección de $y = 20$ y $5x + 8y = 300$. $5x + 8(20) = 300 \implies 5x + 160 = 300 \implies 5x = 140 \implies x = 28$. $$C(28, 20)$$ - **Vértice D**: Intersección de $5x + 8y = 300$ y $10x + 11y = 550$. Multiplicamos la primera por $-2$: $-10x - 16y = -600$ $10x + 11y = 550$ Sumamos: $-5y = -50 \implies y = 10$. Sustituimos $y=10$ en la primera: $5x + 80 = 300 \implies 5x = 220 \implies x = 44$. $$D(44, 10)$$ - **Vértice E**: Intersección de $10x + 11y = 550$ y $y = 0$. $10x = 550 \implies x = 55$. $$E(55, 0)$$ Visualizamos la región factible:

Evaluamos $P(x, y) = 5000x + 10000y$ en cada vértice para encontrar el valor máximo: - $P(A) = P(20, 0) = 5000(20) + 10000(0) = 100000\ kg$ - $P(B) = P(20, 20) = 5000(20) + 10000(20) = 100000 + 200000 = 300000\ kg$ - $P(C) = P(28, 20) = 5000(28) + 10000(20) = 140000 + 200000 = 340000\ kg$ - $P(D) = P(44, 10) = 5000(44) + 10000(10) = 220000 + 100000 = 320000\ kg$ - $P(E) = P(55, 0) = 5000(55) + 10000(0) = 275000\ kg$ El valor máximo se alcanza en el punto **$C(28, 20)$**. ✅ **Resultado final:** Para maximizar la producción, el agricultor debe cultivar **28 hectáreas de olivar de secano** y **20 hectáreas de olivar de regadío**. La producción máxima esperada es de **$340000\ kg$**. $$\boxed{\text{28 ha secano, 20 ha regadío; Producción: } 340000\ kg}$$