Cálculo de derivadas y parámetros para recta tangente horizontal

**a) (1.5 puntos) Calcule la derivada de las funciones siguientes: $f(x) = (x^2 + 2)^3 \cdot e^{-2x}$** Para derivar $f(x)$, observamos que es un producto de dos funciones: $u(x) = (x^2 + 2)^3$ y $v(x) = e^{-2x}$. Utilizaremos la **regla del producto**: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$. 1. Derivamos $u(x) = (x^2 + 2)^3$ usando la regla de la cadena: $u'(x) = 3(x^2 + 2)^2 \cdot (2x) = 6x(x^2 + 2)^2$ 2. Derivamos $v(x) = e^{-2x}$ usando la regla de la cadena: $v'(x) = e^{-2x} \cdot (-2) = -2e^{-2x}$ Ahora aplicamos la regla del producto: $f'(x) = 6x(x^2 + 2)^2 \cdot e^{-2x} + (x^2 + 2)^3 \cdot (-2e^{-2x})$ Factorizamos los términos comunes $2(x^2 + 2)^2 e^{-2x}$ para simplificar: $f'(x) = 2(x^2 + 2)^2 e^{-2x} \left[ 3x - (x^2 + 2) \right]$ $f'(x) = 2(x^2 + 2)^2 e^{-2x} (-x^2 + 3x - 2)$ 💡 **Tip:** Siempre que tengas una exponencial multiplicando, intenta sacar factor común al final; esto facilita mucho el estudio del signo de la derivada en otros ejercicios. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(x) = 2(x^2 + 2)^2 e^{-2x} (-x^2 + 3x - 2)}$$

**$g(x) = \frac{\ln(1 - x^3)}{(1 - 2x^2)^2}$** Usamos la **regla del cociente**: $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. 1. $u(x) = \ln(1 - x^3) \implies u'(x) = \frac{-3x^2}{1 - x^3}$ 2. $v(x) = (1 - 2x^2)^2 \implies v'(x) = 2(1 - 2x^2) \cdot (-4x) = -8x(1 - 2x^2)$ Sustituimos en la fórmula: $g'(x) = \frac{\frac{-3x^2}{1 - x^3}(1 - 2x^2)^2 - \ln(1 - x^3)(-8x(1 - 2x^2))}{\left[(1 - 2x^2)^2\right]^2}$ Simplificamos dividiendo numerador y denominador por $(1 - 2x^2)$: $g'(x) = \frac{\frac{-3x^2(1 - 2x^2)}{1 - x^3} + 8x\ln(1 - x^3)}{(1 - 2x^2)^3}$ Para dejarlo más elegante, multiplicamos el término del logaritmo por $(1 - x^3)$ para tener denominador común en el numerador: $g'(x) = \frac{-3x^2(1 - 2x^2) + 8x(1 - x^3)\ln(1 - x^3)}{(1 - x^3)(1 - 2x^2)^3}$ 💡 **Tip:** En la regla del cociente, si el denominador está elevado a una potencia, a menudo podrás simplificar un factor tras derivar. ✅ **Resultado:** $$\boxed{g'(x) = \frac{-3x^2 + 6x^4 + 8x(1 - x^3)\ln(1 - x^3)}{(1 - x^3)(1 - 2x^2)^3}}$$

**b) (1 punto) Halle los valores de $a$ y $b$ para que sea horizontal la recta tangente a la gráfica de la función $h(x) = x^3 + ax^2 + 3x + b$ en el punto $P(1, 2)$.** La primera condición es que el punto $P(1, 2)$ pertenece a la gráfica de la función. Esto significa que cuando $x = 1$, el valor de la función debe ser $y = 2$: $$h(1) = 2$$ Sustituimos en la expresión de $h(x)$: $1^3 + a(1)^2 + 3(1) + b = 2$ $1 + a + 3 + b = 2$ $a + b + 4 = 2$ $a + b = -2 \quad \text{(Ecuación 1)}$ 💡 **Tip:** Si te dan un punto $(x_0, y_0)$ de la curva, la condición $h(x_0) = y_0$ siempre es el primer paso para hallar parámetros.

La segunda condición es que la recta tangente en $x = 1$ sea **horizontal**. Una recta es horizontal si su pendiente es cero. Como la pendiente de la recta tangente es el valor de la derivada en ese punto, tenemos: $$h'(1) = 0$$ Primero, calculamos la derivada general de $h(x)$: $h'(x) = 3x^2 + 2ax + 3$ Ahora, imponemos que en $x=1$ valga cero: $h'(1) = 3(1)^2 + 2a(1) + 3 = 0$ $3 + 2a + 3 = 0$ $6 + 2a = 0$ $2a = -6$ $a = -3$ 💡 **Tip:** "Recta tangente horizontal" es sinónimo de $f'(x) = 0$.

Ya tenemos el valor de $a = -3$. Ahora lo sustituimos en la **Ecuación 1** para encontrar $b$: $a + b = -2$ $-3 + b = -2$ $b = -2 + 3$ $b = 1$ Los valores buscados son $a = -3$ y $b = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -3, \quad b = 1}$$