Estudio de una función de velocidad del viento

**a) (0.75 puntos) Compruebe que la función $v$ es continua y derivable.** Primero analizamos la continuidad en el dominio dado $[0, 24]$. Las funciones que definen cada rama son polinómicas, por lo que son continuas en sus respectivos intervalos abiertos. El único punto conflictivo es el salto entre ramas en $t = 10$. Para que $v(t)$ sea continua en $t = 10$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1. Valor de la función: $v(10) = 10^2 - 8(10) + 60 = 100 - 80 + 60 = 80$. 2. Límite por la izquierda: $$\lim_{t \to 10^-} v(t) = \lim_{t \to 10^-} (t^2 - 8t + 60) = 80.$$ 3. Límite por la derecha: $$\lim_{t \to 10^+} v(t) = \lim_{t \to 10^+} (-t^2 + 32t - 140) = -(10)^2 + 32(10) - 140 = -100 + 320 - 140 = 80.$$ Como $\lim_{t \to 10^-} v(t) = \lim_{t \to 10^+} v(t) = v(10) = 80$, la función es **continua en $t = 10$** y, por tanto, en todo su dominio. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si no hay "saltos" en su gráfica, lo cual comprobamos igualando los límites laterales.

Para estudiar la derivabilidad, calculamos primero la derivada de cada rama en los intervalos abiertos: $$v'(t) = \begin{cases} 2t - 8 & \text{si } 0 \lt t \lt 10 \\ -2t + 32 & \text{si } 10 \lt t \lt 24 \end{cases}$$ Ahora comprobamos si las derivadas laterales coinciden en el punto de cambio $t = 10$: 1. Derivada lateral izquierda: $$v'(10^-) = 2(10) - 8 = 20 - 8 = 12.$$ 2. Derivada lateral derecha: $$v'(10^+) = -2(10) + 32 = -20 + 32 = 12.$$ Como $v'(10^-) = v'(10^+) = 12$, la función es **derivable en $t = 10$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función } v(t) \text{ es continua y derivable en } [0, 24]}$$

**b) (1 punto) Represente gráficamente la función, estudiando previamente la monotonía y calculando los extremos absolutos.** Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero en cada rama: - Primera rama ($0 \le t \le 10$): $2t - 8 = 0 \implies t = 4$. - Segunda rama ($10 \lt t \le 24$): $-2t + 32 = 0 \implies t = 16$. Analizamos el signo de $v'(t)$ para determinar el crecimiento y decrecimiento: $$\begin{array}{c|ccccccc} t & [0, 4) & 4 & (4, 10) & 10 & (10, 16) & 16 & (16, 24] \\ \hline v'(t) & - & 0 & + & 12 & + & 0 & - \\ \text{Función} & \searrow & \min & \nearrow & \text{cont.} & \nearrow & \max & \searrow \end{array}$$ - La función es **decreciente** en $(0, 4) \cup (16, 24)$. - La función es **creciente** en $(4, 16)$.

Evaluamos la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo para hallar los valores absolutos: - $v(0) = 60 \text{ km/h}$ - $v(4) = 4^2 - 8(4) + 60 = 16 - 32 + 60 = 44 \text{ km/h}$ - $v(10) = 80 \text{ km/h}$ - $v(16) = -(16)^2 + 32(16) - 140 = -256 + 512 - 140 = 116 \text{ km/h}$ - $v(24) = -(24)^2 + 32(24) - 140 = -576 + 768 - 140 = 52 \text{ km/h}$ Comparando valores: - El **mínimo absoluto** es de $44 \text{ km/h}$ en $t = 4$. - El **máximo absoluto** es de $116 \text{ km/h}$ en $t = 16$. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máx. Absoluto: } (16, 116); \text{ Mín. Absoluto: } (4, 44)}$$ Visualizamos la gráfica a continuación:

**c) (0.75 puntos) La Agencia Estatal de Meteorología emite avisos de alerta por vientos siguiendo el código de colores: naranja para vientos entre 100 y 140 $km/h$, y rojo para vientos de más de 140 $km/h$. Según la previsión, indique si se debe emitir alguna alerta naranja en Sierra Nevada ese día y durante qué horas estaría activa. ¿Se emitiría alerta roja?** Para la **alerta naranja**, buscamos cuándo $100 \le v(t) \le 140$. Dado que el máximo absoluto es $116$, sabemos que no superará los $140$, por lo que solo debemos resolver $v(t) \ge 100$. El valor $100$ solo se alcanza en la segunda rama ($10 \lt t \le 24$): $$-t^2 + 32t - 140 = 100 \implies -t^2 + 32t - 240 = 0$$ Multiplicamos por $-1$ para facilitar: $$t^2 - 32t + 240 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$t = \frac{32 \pm \sqrt{(-32)^2 - 4(1)(240)}}{2} = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 960}}{2} = \frac{32 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{32 \pm 8}{2}$$ Obtenemos dos valores: $$t_1 = \frac{32 - 8}{2} = 12 \text{ h}$$ $$t_2 = \frac{32 + 8}{2} = 20 \text{ h}$$ Por tanto, la alerta naranja estará activa en el intervalo **$[12, 20]$ horas**. Respecto a la **alerta roja** ($v(t) \gt 140$): Como el valor máximo de la función es $116 \text{ km/h}$, y $116 \lt 140$, **no se emitirá ninguna alerta roja**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Alerta naranja: de 12:00 a 20:00 h. Alerta roja: No.}}$$