Siniestralidad de vehículos y conductores

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos según la información del enunciado y organizamos los datos en una tabla de contingencia. **Sucesos:** - $J$: El conductor es joven (menor de 30 años). - $S$: El conductor es sénior (30 años o más). Es el suceso contrario a joven, $S = \bar{J}$. - $V_{new}$: El vehículo es nuevo (menos de 5 años). - $V_{old}$: El vehículo es viejo (5 años o más). Es el suceso contrario a nuevo, $V_{old} = \bar{V}_{new}$. **Datos proporcionados:** - Total de siniestros: $N = 54$. - Vehículos nuevos: $N(V_{new}) = 19$. - Conductores jóvenes: $N(J) = 29$. - Vehículos viejos y conductores jóvenes: $N(V_{old} \cap J) = 21$. Completamos la tabla restando para obtener los valores restantes: - $N(V_{old}) = 54 - 19 = 35$. - $N(S) = 54 - 29 = 25$. - $N(J \cap V_{new}) = N(J) - N(J \cap V_{old}) = 29 - 21 = 8$. - $N(S \cap V_{old}) = N(V_{old}) - N(J \cap V_{old}) = 35 - 21 = 14$. - $N(S \cap V_{new}) = N(S) - N(S \cap V_{old}) = 25 - 14 = 11$. **Tabla de contingencia (frecuencias):** $$\begin{array}{c|cc|c} & J & S & \text{Total} \\ \hline V_{new} & 8 & 11 & 19 \\ V_{old} & 21 & 14 & 35 \\ \hline \text{Total} & 29 & 25 & 54 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En problemas con dos variables cualitativas (como tipo de conductor y edad del coche), la tabla de contingencia es la herramienta más rápida para visualizar todas las intersecciones.

**a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que el conductor sea sénior y el vehículo viejo.** Buscamos la probabilidad de la intersección de ser sénior ($S$) y tener un vehículo viejo ($V_{old}$), es decir, $P(S \cap V_{old})$. Utilizando la Regla de Laplace: $$P(S \cap V_{old}) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos totales}} = \frac{N(S \cap V_{old})}{N}$$ Consultando nuestra tabla de contingencia: $$P(S \cap V_{old}) = \frac{14}{54}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 2: $$P(S \cap V_{old}) = \frac{7}{27} \approx 0.2593$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S \cap V_{old}) = \frac{7}{27} \approx 0.2593}$$

**b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que el conductor sea joven sabiendo que el vehículo es viejo.** Se trata de una probabilidad condicionada. Queremos hallar la probabilidad de que el conductor sea joven ($J$) dado que sabemos que el vehículo es viejo ($V_{old}$), denotado como $P(J | V_{old})$. La fórmula de la probabilidad condicionada es: $$P(J | V_{old}) = \frac{P(J \cap V_{old})}{P(V_{old})}$$ O directamente usando los datos de la tabla (restringiendo el espacio muestral a los 35 siniestros de vehículos viejos): $$P(J | V_{old}) = \frac{N(J \cap V_{old})}{N(V_{old})} = \frac{21}{35}$$ Simplificamos dividiendo entre 7: $$P(J | V_{old}) = \frac{3}{5} = 0.6$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B)$ significa que ya sabemos que ha ocurrido $B$, por lo que nuestro "total" ahora es solo la fila o columna de $B$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(J | V_{old}) = 0.6}$$

**c) (0.5 puntos) Determine razonadamente si la siguiente afirmación es cierta: "Los siniestros de este estudio menos probables son aquellos en los que el conductor es sénior y el vehículo es nuevo".** Para verificar esta afirmación, debemos comparar las probabilidades de todas las posibles combinaciones (intersecciones) de conductor y vehículo: 1. $P(J \cap V_{new}) = \frac{8}{54} \approx 0.1481$ 2. $P(S \cap V_{new}) = \frac{11}{54} \approx 0.2037$ 3. $P(J \cap V_{old}) = \frac{21}{54} \approx 0.3889$ 4. $P(S \cap V_{old}) = \frac{14}{54} \approx 0.2593$ Comparamos los valores: $$8 \lt 11 \lt 14 \lt 21$$ El número menor de siniestros (y por tanto la probabilidad más baja) corresponde a **conductor joven y vehículo nuevo** ($J \cap V_{new}$), con 8 siniestros. La afirmación dice que el menos probable es "sénior y nuevo" ($S \cap V_{new}$), el cual tiene 11 siniestros. Por tanto, la afirmación es **falsa**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Falsa. El siniestro menos probable es Joven y Vehículo Nuevo (8/54).}}$$