Muestreo estratificado y distribución de medias muestrales

**a) (1.5 puntos) Se realizan dos muestreos aleatorios estratificados con afijación proporcional para una población dividida en cuatro estratos $E_1, E_2, E_3$ y $E_4$. En la primera muestra se han seleccionado 25 individuos de $E_1$ y 30 de $E_2$. En la segunda muestra se han seleccionado 80 individuos de $E_3$ y 100 de $E_4$. Sabiendo que el estrato $E_1$ tiene 500 individuos y que el $E_3$ tiene 400, determine el tamaño de cada estrato de la población y el tamaño de las muestras en cada estrato.** En un **muestreo estratificado con afijación proporcional**, la relación entre el tamaño de la muestra de un estrato ($n_i$) y el tamaño de dicho estrato en la población ($N_i$) es constante para todos los estratos de esa muestra. Esta constante se denomina factor de proporcionalidad o fracción de muestreo ($k$): $$\frac{n_1}{N_1} = \frac{n_2}{N_2} = \frac{n_3}{N_3} = \frac{n_4}{N_4} = k$$ Identificamos los datos conocidos: - Población: $N_1 = 500$, $N_3 = 400$. - Muestra 1: $n_{1,1} = 25$, $n_{1,2} = 30$. - Muestra 2: $n_{2,3} = 80$, $n_{2,4} = 100$. 💡 **Tip:** Recuerda que la afijación proporcional implica que a mayor tamaño de estrato en la población, mayor debe ser su representación en la muestra.

Primero, usamos la **Muestra 1** para hallar la constante $k_1$ y el tamaño de $N_2$: $$k_1 = \frac{n_{1,1}}{N_1} = \frac{25}{500} = 0.05$$ Como la proporción se mantiene en todos los estratos para la primera muestra: $$\frac{n_{1,2}}{N_2} = 0.05 \implies N_2 = \frac{n_{1,2}}{0.05} = \frac{30}{0.05} = 600.$$ Ahora, usamos la **Muestra 2** para hallar la constante $k_2$ y el tamaño de $N_4$: $$k_2 = \frac{n_{2,3}}{N_3} = \frac{80}{400} = 0.2$$ Como la proporción se mantiene: $$\frac{n_{2,4}}{N_4} = 0.2 \implies N_4 = \frac{n_{2,4}}{0.2} = \frac{100}{0.2} = 500.$$ ✅ **Tamaños de los estratos:** $$\boxed{N_1 = 500, \quad N_2 = 600, \quad N_3 = 400, \quad N_4 = 500}$$

Ahora que conocemos todos los $N_i$, calculamos los elementos faltantes de cada muestra. **Para la Muestra 1 ($k_1 = 0.05$):** - $n_{1,3} = N_3 \cdot k_1 = 400 \cdot 0.05 = 20$ - $n_{1,4} = N_4 \cdot k_1 = 500 \cdot 0.05 = 25$ **Para la Muestra 2 ($k_2 = 0.2$):** - $n_{2,1} = N_1 \cdot k_2 = 500 \cdot 0.2 = 100$ - $n_{2,2} = N_2 \cdot k_2 = 600 \cdot 0.2 = 120$ ✅ **Resultados de las muestras:** $$\boxed{\text{Muestra 1: } n_{1,1}=25, n_{1,2}=30, n_{1,3}=20, n_{1,4}=25 \quad (n_{total}=100)}$$ $$\boxed{\text{Muestra 2: } n_{2,1}=100, n_{2,2}=120, n_{2,3}=80, n_{2,4}=100 \quad (n_{total}=400)}$$

**b) (1 punto) Dada la población $\{-3, -1, 2, 5, 7\}$, se consideran todas las muestras posibles de tamaño 2 obtenidas mediante muestreo aleatorio simple. Calcule la media y la varianza de la distribución de las medias muestrales.** Primero calculamos los parámetros de la población ($N=5$): **Media poblacional ($\mu$):** $$\mu = \frac{\sum x_i}{N} = \frac{-3 - 1 + 2 + 5 + 7}{5} = \frac{10}{5} = 2$$ **Varianza poblacional ($\sigma^2$):** Usamos la fórmula $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}$: $$\sigma^2 = \frac{(-3-2)^2 + (-1-2)^2 + (2-2)^2 + (5-2)^2 + (7-2)^2}{5}$$ $$\sigma^2 = \frac{(-5)^2 + (-3)^2 + 0^2 + 3^2 + 5^2}{5} = \frac{25 + 9 + 0 + 9 + 25}{5} = \frac{68}{5} = 13.6$$ 💡 **Tip:** También puedes usar la fórmula $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - \mu^2$.

Para un **muestreo aleatorio simple** de tamaño $n=2$, las propiedades de la distribución de las medias muestrales $(\bar{X})$ son: 1. **Media de las medias muestrales ($\mu_{\bar{x}}$):** Coincide siempre con la media poblacional. $$\mu_{\bar{x}} = \mu = 2$$ 2. **Varianza de las medias muestrales ($\sigma^2_{\bar{x}}$):** Si el muestreo es aleatorio simple (con reposición), se calcula como: $$\sigma^2_{\bar{x}} = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{13.6}{2} = 6.8$$ 💡 **Nota:** En el contexto de Bachillerato, el término "muestreo aleatorio simple" suele referirse a muestreo con reposición. Si fuera sin reposición para una población finita, se aplicaría el factor de corrección $\frac{N-n}{N-1}$, pero no es lo habitual a menos que se especifique. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\mu_{\bar{x}} = 2, \quad \sigma^2_{\bar{x}} = 6.8}$$