Inferencia estadística: Intervalo de confianza para la proporción

**a) (1.25 puntos) Calcule un intervalo, con un nivel de confianza del 95%, para estimar la proporción de habitantes de la ciudad que realizan turismo sostenible.** Primero, identificamos los datos de la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 2500$ - Habitantes con turismo sostenible: $x = 1825$ - Proporción muestral: $\hat{p} = \frac{1825}{2500} = 0.73$ - Complemento de la proporción: $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.73 = 0.27$ Para un nivel de confianza del $95\%$, calculamos el valor crítico $Z_{\alpha/2}$: $$1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.025$$ Buscamos en la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$ el valor $z$ tal que $P(Z \le z) = 1 - 0.025 = 0.975$. $$Z_{\alpha/2} = 1.96$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son $1.645$ para el $90\%$, $1.96$ para el $95\%$ y $2.575$ para el $99\%$. Siempre conviene saber cómo obtenerlos de la tabla.

El error de estimación $E$ para la proporción se calcula con la fórmula: $$E = Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.73 \cdot 0.27}{2500}} = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.1971}{2500}} = 1.96 \cdot \sqrt{0.00007884} \approx 1.96 \cdot 0.008879$$ $$E \approx 0.0174$$ El intervalo de confianza se define como $IC = (\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: $$IC = (0.73 - 0.0174, 0.73 + 0.0174) = (0.7126, 0.7474)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (0.7126, 0.7474)}$$

**b) (0.75 puntos) Para un nivel de confianza del 97% y manteniendo la proporción muestral, ¿cuál sería el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error de estimación sea inferior al 1%?** Datos para este apartado: - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.015$ - Valor crítico $Z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z) = 1 - 0.015 = 0.985$. Mirando en la tabla: $Z_{\alpha/2} = 2.17$ - Proporción muestral: $\hat{p} = 0.73$ y $\hat{q} = 0.27$ - Error máximo permitido: $E \lt 0.01$ Planteamos la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \implies n = \frac{(Z_{\alpha/2})^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ $$n = \frac{(2.17)^2 \cdot 0.73 \cdot 0.27}{0.01^2} = \frac{4.7089 \cdot 0.1971}{0.0001} = \frac{0.92812419}{0.0001} \approx 9281.24$$ Como buscamos el tamaño mínimo para que el error sea **inferior** al $1\%$, siempre debemos redondear al entero superior. 💡 **Tip:** Al calcular tamaños muestrales, si el resultado tiene decimales, siempre redondeamos hacia arriba para asegurar que el error se mantenga dentro del límite. ✅ **Resultado (Tamaño mínimo):** $$\boxed{n = 9282 \text{ habitantes}}$$

**c) (0.5 puntos) Razone qué efecto producirá sobre la amplitud del intervalo una disminución del tamaño de la muestra.** La amplitud del intervalo de confianza es igual a dos veces el error de estimación ($2E$): $$\text{Amplitud} = 2 \cdot Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ En esta fórmula, observamos que el tamaño de la muestra $n$ se encuentra en el **denominador**. Por tanto: 1. Si el tamaño de la muestra $n$ **disminuye**, el valor de la fracción $\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}$ **aumenta**. 2. Al aumentar el valor dentro de la raíz, el error $E$ aumenta. 3. En consecuencia, la amplitud del intervalo se hace **mayor** (el intervalo es menos preciso). 💡 **Tip:** Amplitud y tamaño de muestra son inversamente proporcionales. A mayor muestra, menor amplitud (más precisión); a menor muestra, mayor amplitud (menos precisión). ✅ **Resultado (Razonamiento):** $$\boxed{\text{Una disminución de } n \text{ produce un aumento de la amplitud del intervalo.}}$$