Ecuación matricial con potencias e inversas

Para resolver la ecuación $A^2 \cdot X + A^4 = A$, el primer paso es aislar la incógnita $X$. Operamos con las matrices como si fueran términos algebraicos, pero respetando el orden de la multiplicación (ya que el producto de matrices no es conmutativo): 1. Restamos $A^4$ en ambos lados: $$A^2 \cdot X = A - A^4$$ 2. Si la matriz $A^2$ tiene inversa, podemos multiplicar por $(A^2)^{-1}$ por la **izquierda** en ambos lados: $$X = (A^2)^{-1}(A - A^4)$$ Sin embargo, podemos simplificar mucho más la expresión si factorizamos y usamos propiedades de las potencias e inversas. Suponiendo que $A$ es invertible: $$X = (A \cdot A)^{-1}A - (A \cdot A)^{-1}A^4$$ $$X = A^{-1} \cdot A^{-1} \cdot A - A^{-1} \cdot A^{-1} \cdot A^4$$ $$X = A^{-1} - A^2$$ 💡 **Tip:** Siempre es preferible simplificar la ecuación matricial antes de calcular matrices inversas o potencias elevadas, ya que reduce el número de operaciones y el riesgo de error. En este caso, calcular $X = A^{-1} - A^2$ es mucho más rápido que calcular $A^4$ y $(A^2)^{-1}$.

Para poder usar $A^{-1}$, debemos asegurar que $|A| \neq 0$. Calculamos el determinante de $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 2 \cdot (-2) + 0 \cdot 0 \cdot 0] - [0 \cdot (-1) \cdot (-2) + 2 \cdot 0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 0]$$ $$|A| = [-1 - 8 + 0] - [0 + 0 + 0] = -9$$ Como **$|A| = -9 \neq 0$**, la matriz $A$ es invertible y la simplificación del paso anterior es válida.

Calculamos $A^{-1}$ mediante la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^T$. 1. **Matriz de adjuntos (cofactores):** $A_{11} = +\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$ $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = -(0 - (-4)) = -4$ $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = (0 - 2) = -2$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -2$ $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 1$ $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - (-4)) = -4$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 4$ $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -2$ $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -1$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & -4 & -2 \\ -2 & 1 & -4 \\ 4 & -2 & -1 \end{pmatrix}$$ 2. **Traspuesta de la adjunta:** $$\text{Adj}(A)^T = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 4 \\ -4 & 1 & -2 \\ -2 & -4 & -1 \end{pmatrix}$$ 3. **Inversa:** $$A^{-1} = \frac{1}{-9} \begin{pmatrix} -1 & -2 & 4 \\ -4 & 1 & -2 \\ -2 & -4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/9 & 2/9 & -4/9 \\ 4/9 & -1/9 & 2/9 \\ 2/9 & 4/9 & 1/9 \end{pmatrix}$$

Calculamos $A^2 = A \cdot A$: $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1: $(1\cdot1+2\cdot0+0\cdot-2, 1\cdot2+2\cdot-1+0\cdot0, 1\cdot0+2\cdot2+0\cdot1) = (1, 0, 4)$ - Fila 2: $(0\cdot1-1\cdot0+2\cdot-2, 0\cdot2-1\cdot-1+2\cdot0, 0\cdot0-1\cdot2+2\cdot1) = (-4, 1, 0)$ - Fila 3: $(-2\cdot1+0\cdot0+1\cdot-2, -2\cdot2+0\cdot-1+1\cdot0, -2\cdot0+0\cdot2+1\cdot1) = (-4, -4, 1)$ $$\boxed{A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ -4 & 1 & 0 \\ -4 & -4 & 1 \end{pmatrix}}$$

Sustituimos los resultados obtenidos en la expresión simplificada $X = A^{-1} - A^2$: $$X = \begin{pmatrix} 1/9 & 2/9 & -4/9 \\ 4/9 & -1/9 & 2/9 \\ 2/9 & 4/9 & 1/9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ -4 & 1 & 0 \\ -4 & -4 & 1 \end{pmatrix}$$ Para facilitar la resta, ponemos todos los elementos de $A^2$ con denominador $9$: $$X = \frac{1}{9} \left[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 \\ 4 & -1 & 2 \\ 2 & 4 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 9 & 0 & 36 \\ -36 & 9 & 0 \\ -36 & -36 & 9 \end{pmatrix} \right]$$ $$X = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 1-9 & 2-0 & -4-36 \\ 4-(-36) & -1-9 & 2-0 \\ 2-(-36) & 4-(-36) & 1-9 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -8/9 & 2/9 & -40/9 \\ 40/9 & -10/9 & 2/9 \\ 38/9 & 40/9 & -8/9 \end{pmatrix}}$$