Álgebra 2024 Andalucia
Optimización de audiencia publicitaria mediante programación lineal
EJERCICIO 2
(2.5 puntos) Una empresa tiene un presupuesto de 78000 € para promocionar un producto y quiere contratar la emisión de anuncios por radio y televisión. El coste de emisión de un anuncio de radio es de 2400 € y de un anuncio de televisión de 3600 €. La empresa quiere que la diferencia entre el número de anuncios emitidos de cada tipo no sea mayor que 10 y que se emitan un mínimo de 10 anuncios en total. Si la emisión de un anuncio de radio llega a 34000 personas y de un anuncio de televisión a 72000 personas, ¿cuántas emisiones de cada tipo debe contratar para que la audiencia sea la mayor posible? ¿A cuánto ascendería dicha audiencia?
Paso 1
Definición de variables y función objetivo
En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema:
- $x$: número de anuncios de radio.
- $y$: número de anuncios de televisión.
El objetivo es maximizar la audiencia total, que viene dada por la función:
$$f(x, y) = 34000x + 72000y$$
💡 **Tip:** Identificar correctamente qué representan $x$ e $y$ es fundamental para plantear las restricciones del problema sin errores.
Paso 2
Planteamiento de las restricciones
Traducimos las condiciones del enunciado a inecuaciones:
1. **Presupuesto:** El coste total no puede superar los $78000 \text{ €}$.
$$2400x + 3600y \le 78000$$
Podemos simplificar dividiendo entre $1200$:
$$2x + 3y \le 65$$
2. **Diferencia entre tipos de anuncios:** La diferencia (en valor absoluto) no debe ser mayor que $10$.
$$|x - y| \le 10 \implies -10 \le x - y \le 10$$
Esto genera dos inecuaciones:
- $x - y \le 10$
- $y - x \le 10$
3. **Mínimo de anuncios:** Se emiten al menos $10$ en total.
$$x + y \ge 10$$
4. **No negatividad:** El número de anuncios no puede ser negativo.
$$x \ge 0, \quad y \ge 0$$
💡 **Tip:** Cuando el enunciado habla de "diferencia no mayor que", se refiere a que la distancia entre los valores es pequeña, por lo que usamos el valor absoluto $|x - y| \le 10$.
Paso 3
Representación de la región factible
Representamos gráficamente las rectas asociadas a las restricciones para delimitar la región factible:
- $r_1: 2x + 3y = 65$ (Pasa por $(0, 21.67)$ y $(32.5, 0)$)
- $r_2: x - y = 10$ (Pasa por $(10, 0)$ y $(20, 10)$)
- $r_3: y - x = 10$ (Pasa por $(0, 10)$ y $(10, 20)$)
- $r_4: x + y = 10$ (Pasa por $(10, 0)$ y $(0, 10)$)
La región factible es el polígono sombreado que cumple todas las condiciones al mismo tiempo.
Paso 4
Cálculo de los vértices
Calculamos los puntos de intersección de las rectas que limitan la región factible:
- **Vértice A** (Intersección de $2x + 3y = 65$ y $y - x = 10$):
Sustituyendo $y = x + 10$ en la primera ecuación:
$2x + 3(x + 10) = 65 \implies 5x + 30 = 65 \implies 5x = 35 \implies x = 7$
$y = 7 + 10 = 17$. Luego $\mathbf{A(7, 17)}$.
- **Vértice B** (Intersección de $2x + 3y = 65$ y $x - y = 10$):
Sustituyendo $x = y + 10$:
$2(y + 10) + 3y = 65 \implies 5y + 20 = 65 \implies 5y = 45 \implies y = 9$
$x = 9 + 10 = 19$. Luego $\mathbf{B(19, 9)}$.
- **Vértice C** (Intersección de $x - y = 10$ y $x + y = 10$):
Sumando ambas: $2x = 20 \implies x = 10$. Entonces $y = 0$. Luego $\mathbf{C(10, 0)}$.
- **Vértice D** (Intersección de $y - x = 10$ y $x + y = 10$):
Sumando ambas: $2y = 20 \implies y = 10$. Entonces $x = 0$. Luego $\mathbf{D(0, 10)}$.
Paso 5
Evaluación de la función objetivo y solución final
Evaluamos la función de audiencia $f(x, y) = 34000x + 72000y$ en cada vértice:
- $f(7, 17) = 34000(7) + 72000(17) = 238000 + 1224000 = \mathbf{1462000}$ personas.
- $f(19, 9) = 34000(19) + 72000(9) = 646000 + 648000 = 1294000$ personas.
- $f(10, 0) = 34000(10) + 72000(0) = 340000$ personas.
- $f(0, 10) = 34000(0) + 72000(10) = 720000$ personas.
El valor máximo se alcanza en el punto $A(7, 17)$.
✅ **Resultado:**
Para maximizar la audiencia, la empresa debe contratar **7 anuncios de radio y 17 anuncios de televisión**, obteniendo una audiencia total de **1.462.000 personas**.
$$\boxed{\text{Anuncios Radio: 7, Anuncios TV: 17. Audiencia total: 1.462.000 personas}}$$