Estudio completo de una función racional

**a) (0.75 puntos) Estudie la continuidad y derivabilidad de dicha función. Calcule sus asíntotas.** Primero, determinamos el dominio de la función $f(x) = \frac{2x - 6}{2 - x}$. Al ser una función racional, el dominio son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador: $$2 - x = 0 \implies x = 2$$ Por tanto, $Dom(f) = \mathbb{R} \setminus \{2\}$. - **Continuidad:** $f(x)$ es una función racional y, por tanto, es continua en todo su dominio. En $x = 2$ la función no está definida, por lo que presenta una discontinuidad. - **Derivabilidad:** Al ser una función racional, es derivable en todos los puntos donde es continua. Por tanto, es derivable en $\mathbb{R} \setminus \{2\}$. 💡 **Tip:** Las funciones racionales son siempre continuas y derivables en su dominio (donde el denominador no es cero). $$\boxed{\text{Continua y derivable en } \mathbb{R} \setminus \{2\}}$$

Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los puntos que no pertenecen al dominio. Estudiamos el límite en $x = 2$: $$\lim_{x \to 2} \frac{2x - 6}{2 - x} = \frac{2(2) - 6}{2 - 2} = \frac{-2}{0} = \infty$$ Calculamos los límites laterales para determinar el comportamiento: - Por la izquierda ($x \to 2^-$): $\lim_{x \to 2^-} \frac{2x - 6}{2 - x} = \frac{-2}{0^+} = -\infty$ - Por la derecha ($x \to 2^+$): $\lim_{x \to 2^+} \frac{2x - 6}{2 - x} = \frac{-2}{0^-} = +\infty$ Como el límite es infinito, existe una asíntota vertical en $x = 2$. ✅ **Resultado (A. Vertical):** $$\boxed{x = 2}$$

Para las asíntotas horizontales, calculamos el límite cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{2x - 6}{2 - x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{-x} = -2$$ Como el límite es un valor finito, existe una asíntota horizontal en $y = -2$. Dado que existe asíntota horizontal, no existen asíntotas oblicuas. 💡 **Tip:** En funciones racionales, si los grados del numerador y denominador son iguales, la asíntota horizontal es el cociente de los coeficientes principales. ✅ **Resultado (A. Horizontal):** $$\boxed{y = -2}$$

**b) (0.75 puntos) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como la existencia de extremos relativos.** Calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$u = 2x - 6 \implies u' = 2$$ $$v = 2 - x \implies v' = -1$$ $$f'(x) = \frac{2(2 - x) - (2x - 6)(-1)}{(2 - x)^2} = \frac{4 - 2x + 2x - 6}{(2 - x)^2} = \frac{-2}{(2 - x)^2}$$ Analizamos el signo de $f'(x)$: - El numerador es $-2$ (siempre negativo). - El denominador $(2 - x)^2$ es siempre positivo para cualquier $x \neq 2$. - Por tanto, $f'(x) \lt 0$ para todo $x \in Dom(f)$. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|cc|c} x & (-\infty, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & \nexists & - \\ \hline f(x) & \searrow & \nexists & \searrow \end{array}$$ Como la derivada nunca se anula y la función siempre decrece, no existen extremos relativos. ✅ **Resultado (Monotonía y Extrema):** $$\boxed{\text{Decreciente en } (-\infty, 2) \cup (2, +\infty). \text{ No existen extremos relativos.}}$$

**c) (1 punto) Halle los puntos de corte con los ejes de coordenadas y represente gráficamente la función.** - **Corte con el eje OY (hacemos $x = 0$):** $$f(0) = \frac{2(0) - 6}{2 - 0} = \frac{-6}{2} = -3$$ El punto de corte es $(0, -3)$. - **Corte con el eje OX (hacemos $f(x) = 0$):** $$\frac{2x - 6}{2 - x} = 0 \implies 2x - 6 = 0 \implies x = 3$$ El punto de corte es $(3, 0)$. ✅ **Resultado (Puntos de corte):** $$\boxed{(0, -3) \text{ y } (3, 0)}$$

Utilizando las asíntotas ($x=2, y=-2$), los puntos de corte y el hecho de que la función es siempre decreciente, representamos la gráfica. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "y=\\frac{2x-6}{2-x}", "color": "#2563eb" }, { "id": "av", "latex": "x=2", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "ah", "latex": "y=-2", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "p1", "latex": "(0,-3)", "color": "#111827", "showLabel": true }, { "id": "p2", "latex": "(3,0)", "color": "#111827", "showLabel": true } ], "bounds": { "left": -5, "right": 8, "bottom": -8, "top": 5 } } }