Estudio de función a trozos: continuidad, derivabilidad, extremos y área

**a) (0.75 puntos) Estudie su continuidad y derivabilidad.** Primero analizamos la continuidad. La función está definida por dos ramas polinómicas. Las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio, por lo que el único punto de posible discontinuidad es el salto entre intervalos en $x = 4$. Para que $f(x)$ sea continua en $x = 4$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1. **Límite por la izquierda:** $$\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4} (-x^2 + 4x + 3) = -(4)^2 + 4(4) + 3 = -16 + 16 + 3 = 3$$ 2. **Límite por la derecha:** $$\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4} (2x - 5) = 2(4) - 5 = 8 - 5 = 3$$ 3. **Valor de la función:** $$f(4) = 2(4) - 5 = 3$$ Como $\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^+} f(x) = f(4) = 3$, la función es **continua en $x = 4$** y, por tanto, en todo $\mathbb{R}$. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si puedes dibujarla sin levantar el lápiz del papel; matemáticamente, esto ocurre si el límite existe y coincide con el valor de la función.

Una vez comprobada la continuidad, estudiamos la derivabilidad. Calculamos la derivada de cada rama para $x \neq 4$: $$f'(x) = \begin{cases} -2x + 4 & \text{si } x \lt 4 \\ 2 & \text{si } x \gt 4 \end{cases}$$ Para comprobar si es derivable en $x = 4$, calculamos las derivadas laterales (límites de la función derivada): 1. **Derivada lateral izquierda:** $$f'(4^-) = \lim_{x \to 4^-} (-2x + 4) = -2(4) + 4 = -4$$ 2. **Derivada lateral derecha:** $$f'(4^+) = \lim_{x \to 4^+} (2) = 2$$ Como $f'(4^-) \neq f'(4^+)$, las pendientes no coinciden en el punto de unión. Existe un punto anguloso. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{f(x) es continua en } \mathbb{R} \text{ y derivable en } \mathbb{R} \setminus \{4\}}$$

**a) (0.75 puntos) Estudie su monotonía y calcule sus extremos relativos.** Para estudiar la monotonía, buscamos los puntos donde la derivada es cero o no existe. - En la primera rama ($x \lt 4$): $$f'(x) = -2x + 4 = 0 \implies x = 2$$ - En la segunda rama ($x \gt 4$): $$f'(x) = 2$$ Esta rama no tiene puntos donde la derivada sea cero (es siempre positiva). Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por $x=2$ y el punto de salto $x=4$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 2) & 2 & (2, 4) & 4 & (4, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & + \\ \text{Monotonía} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, 2)$, $f'(x) \gt 0$, luego $f$ es **creciente**. - En $(2, 4)$, $f'(x) \lt 0$, luego $f$ es **decreciente**. - En $(4, +\infty)$, $f'(x) \gt 0$, luego $f$ es **creciente**. 💡 **Tip:** Recuerda que si la derivada pasa de positiva a negativa hay un máximo, y si pasa de negativa a positiva hay un mínimo.

A partir del estudio anterior, identificamos los extremos: 1. **Máximo relativo:** Ocurre en $x = 2$ ya que la función pasa de crecer a decrecer. Calculamos la ordenada: $f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 3 = -4 + 8 + 3 = 7$. Punto: **$(2, 7)$**. 2. **Mínimo relativo:** Ocurre en $x = 4$ ya que la función pasa de decrecer a crecer (aunque no sea derivable, es continua). Calculamos la ordenada: $f(4) = 3$ (calculado en el apartado anterior). Punto: **$(4, 3)$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máx: } (2, 7), \text{ Mín: } (4, 3)}$$

**c) (1 punto) Represente la región del plano limitada por la gráfica de $f$, las rectas $x = 3, x = 5$ y el eje de abscisas. Calcule su área.** La región está comprendida entre $x = 3$ y $x = 5$. Como la función cambia de rama en $x = 4$, debemos dividir la integral en dos partes: $$Área = \int_{3}^{5} f(x) \, dx = \int_{3}^{4} (-x^2 + 4x + 3) \, dx + \int_{4}^{5} (2x - 5) \, dx$$ Calculamos la primera integral (Barrow): $$I_1 = \int_{3}^{4} (-x^2 + 4x + 3) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 + 3x \right]_{3}^{4}$$ $$I_1 = \left( -\frac{64}{3} + 2(16) + 3(4) \right) - \left( -\frac{27}{3} + 2(9) + 3(3) \right)$$ $$I_1 = \left( -\frac{64}{3} + 32 + 12 \right) - (-9 + 18 + 9) = \left( \frac{68}{3} \right) - (18) = \frac{68-54}{3} = \frac{14}{3}$$ Calculamos la segunda integral: $$I_2 = \int_{4}^{5} (2x - 5) \, dx = \left[ x^2 - 5x \right]_{4}^{5}$$ $$I_2 = (25 - 25) - (16 - 20) = 0 - (-4) = 4$$ Sumamos ambas áreas: $$Área_{total} = \frac{14}{3} + 4 = \frac{14 + 12}{3} = \frac{26}{3} \approx 8.67 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{Área = \frac{26}{3} \text{ u}^2}$$