Probabilidad de posesión de vehículos

Primero definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $C$: El habitante tiene coche. - $\bar{C}$: El habitante no tiene coche. - $M$: El habitante tiene moto. - $\bar{M}$: El habitante no tiene moto. Extraemos la información del enunciado: 1. El 7% no tiene ni coche ni moto: $P(\bar{C} \cap \bar{M}) = 0,07$. 2. De los que tienen coche, el 36% tiene moto: $P(M|C) = 0,36$. 3. De los que no tienen coche, el 28% no tiene moto: $P(\bar{M}|\bar{C}) = 0,28$. Necesitamos hallar $P(C)$ y $P(\bar{C})$ para construir el árbol. Sabemos que: $$P(\bar{C} \cap \bar{M}) = P(\bar{C}) \cdot P(\bar{M}|\bar{C})$$ Sustituimos los valores conocidos: $$0,07 = P(\bar{C}) \cdot 0,28 \implies P(\bar{C}) = \frac{0,07}{0,28} = 0,25$$ Como los sucesos son complementarios: $$P(C) = 1 - P(\bar{C}) = 1 - 0,25 = 0,75$$ $$\boxed{P(C) = 0,75; \quad P(\bar{C}) = 0,25}$$

**a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que solo tenga uno de los dos vehículos.** Con los datos obtenidos, representamos el árbol de decisión: El suceso "tener solo un vehículo" ocurre cuando tiene coche pero no moto ($C \cap \bar{M}$) o cuando no tiene coche pero tiene moto ($\bar{C} \cap M$): $$P(\text{solo uno}) = P(C \cap \bar{M}) + P(\bar{C} \cap M)$$ $$P(\text{solo uno}) = (0,75 \cdot 0,64) + (0,25 \cdot 0,72) = 0,48 + 0,18 = 0,66$$ 💡 **Tip:** Las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo siempre deben sumar 1. Por ejemplo, $P(M|C) + P(\bar{M}|C) = 0,36 + 0,64 = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{solo uno}) = 0,66}$$

**b) (0.5 puntos) Calcule la probabilidad de que al menos tenga uno de los dos vehículos.** El suceso "al menos tener uno" es el complementario de "no tener ninguno" ($C^c \cap M^c$). Como el enunciado nos dice directamente que el 7% no tiene ni coche ni moto, sabemos que $P(\bar{C} \cap \bar{M}) = 0,07$. Por tanto: $$P(\text{al menos uno}) = 1 - P(\bar{C} \cap \bar{M})$$ $$P(\text{al menos uno}) = 1 - 0,07 = 0,93$$ 💡 **Tip:** En probabilidad, la expresión "al menos uno" suele resolverse de forma más rápida calculando $1 - P(\text{ninguno})$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{al menos uno}) = 0,93}$$

**c) (0.5 puntos) Si tiene coche, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga moto?** Nos piden la probabilidad de no tener moto condicionado a que tiene coche, es decir, $P(\bar{M}|C)$. Este dato lo podemos obtener directamente de las ramas del árbol o mediante la definición de probabilidad condicionada: $$P(\bar{M}|C) = 1 - P(M|C)$$ $$P(\bar{M}|C) = 1 - 0,36 = 0,64$$ También podemos comprobarlo con la fórmula: $$P(\bar{M}|C) = \frac{P(C \cap \bar{M})}{P(C)} = \frac{0,48}{0,75} = 0,64$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{M}|C) = 0,64}$$

**d) (0.5 puntos) ¿Son independientes los sucesos "tener coche" y "no tener moto"? ¿Son incompatibles?** **1. Independencia:** Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. En este caso, comprobamos si $P(C \cap \bar{M}) = P(C) \cdot P(\bar{M})$. - Sabemos que $P(C \cap \bar{M}) = 0,48$. - Sabemos que $P(C) = 0,75$. - Calculamos $P(\bar{M})$ usando la probabilidad total: $$P(\bar{M}) = P(C \cap \bar{M}) + P(\bar{C} \cap \bar{M}) = 0,48 + 0,07 = 0,55$$ Comprobamos el producto: $$P(C) \cdot P(\bar{M}) = 0,75 \cdot 0,55 = 0,4125$$ Como $0,48 \neq 0,4125$, los sucesos **no son independientes**. **2. Incompatibilidad:** Dos sucesos son incompatibles si su intersección es vacía, es decir, $P(A \cap B) = 0$. En este caso: $$P(C \cap \bar{M}) = 0,48 \neq 0$$ Por tanto, los sucesos **no son incompatibles** (pueden ocurrir a la vez, hay gente que tiene coche y no tiene moto). 💡 **Tip:** Si dos sucesos son independientes, la ocurrencia de uno no afecta a la del otro. Si son incompatibles, no pueden ocurrir simultáneamente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No son independientes y no son incompatibles}}$$