Distribución Normal de alturas y media muestral

**a) (1 punto) ¿Qué porcentaje de plantas tiene una altura comprendida entre $135\ cm$ y $155\ cm$?** Primero definimos la variable aleatoria que describe el experimento: $X =$ "Altura de una planta de maíz en $cm$". El enunciado nos indica que $X$ sigue una distribución Normal con media $\mu = 145$ y desviación típica $\sigma = 22$. Es decir: $$X \sim N(145, 22)$$ Queremos calcular la probabilidad de que una planta esté entre $135$ y $155\ cm$: $$p(135 \le X \le 155)$$ 💡 **Tip:** Para trabajar con cualquier distribución Normal $N(\mu, \sigma)$, debemos realizar la **tipificación** para pasar a una Normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$.

Tipificamos los valores del intervalo: Para $x = 135 \implies z_1 = \frac{135 - 145}{22} = \frac{-10}{22} \approx -0.45$ Para $x = 155 \implies z_2 = \frac{155 - 145}{22} = \frac{10}{22} \approx 0.45$ Ahora calculamos la probabilidad en la tabla de la Normal estándar $N(0, 1)$: $$p(-0.45 \le Z \le 0.45) = p(Z \le 0.45) - p(Z \le -0.45)$$ Como la distribución es simétrica, sabemos que $p(Z \le -0.45) = 1 - p(Z \le 0.45)$. Sustituimos: $$p(Z \le 0.45) - [1 - p(Z \le 0.45)] = 2 \cdot p(Z \le 0.45) - 1$$ Buscamos en la tabla el valor para $z = 0.45$: $$p(Z \le 0.45) = 0.6736$$ Calculamos el resultado final: $$2 \cdot 0.6736 - 1 = 1.3472 - 1 = 0.3472$$ Para obtener el porcentaje, multiplicamos por 100: $$0.3472 \cdot 100 = 34.72\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{34.72\%}$$

**b) (0.5 puntos) ¿Qué altura, como mínimo, debe tener una planta para estar entre el 50% de las más altas?** Buscamos un valor $h$ tal que el $50\%$ de las plantas midan más que $h$. Esto se expresa como: $$p(X \ge h) = 0.50$$ En una distribución Normal, la media, la mediana y la moda coinciden debido a la simetría de la campana de Gauss. Por definición, la media divide a la distribución en dos partes iguales (50% por debajo y 50% por encima). Dado que $\mu = 145$, sabemos que: $$p(X \ge 145) = 0.50$$ Por lo tanto, la altura mínima requerida para estar en el grupo del 50% superior es exactamente la media. 💡 **Tip:** Siempre que nos pidan el valor que deja el 50% a un lado en una Normal, ese valor es la media $\mu$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{145\ cm}$$

**c) (1 punto) Se selecciona una muestra aleatoria de 16 plantas. Halle la probabilidad de que la altura media de las plantas de esta muestra esté comprendida entre $140\ cm$ y $151\ cm$.** Cuando trabajamos con la **media de una muestra** de tamaño $n$, la variable ya no es $X$, sino $\bar{X}$. Si la población original es Normal $N(\mu, \sigma)$, entonces la distribución de las medias muestrales es: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ En este caso: - $n = 16$ - $\mu = 145$ - $\sigma_{\bar{X}} = \frac{22}{\sqrt{16}} = \frac{22}{4} = 5.5$ Por tanto, la nueva distribución es: $$\bar{X} \sim N(145, 5.5)$$ 💡 **Tip:** No olvides dividir la desviación típica original por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra ($n$). Este es un error muy común.

Queremos calcular $p(140 \le \bar{X} \le 151)$. Tipificamos usando la nueva desviación típica $\sigma_{\bar{X}} = 5.5$: Para $\bar{x} = 140 \implies z_1 = \frac{140 - 145}{5.5} = \frac{-5}{5.5} \approx -0.91$ Para $\bar{x} = 151 \implies z_2 = \frac{151 - 145}{5.5} = \frac{6}{5.5} \approx 1.09$ Calculamos la probabilidad: $$p(-0.91 \le Z \le 1.09) = p(Z \le 1.09) - p(Z \le -0.91)$$ Utilizando las propiedades de simetría: $$p(Z \le 1.09) - [1 - p(Z \le 0.91)]$$ Buscamos los valores en la tabla $N(0, 1)$: - $p(Z \le 1.09) = 0.8621$ - $p(Z \le 0.91) = 0.8186$ Sustituimos: $$0.8621 - (1 - 0.8186) = 0.8621 - 0.1814 = 0.6807$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{0.6807}$$