Estimación de la proporción de viajeros con mascota

**a) (1.25 puntos) Obtenga un intervalo, con un nivel de confianza del 97%, para estimar la proporción de personas que viajan en tren con su mascota.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado: - Tamaño de la muestra: $n = 300$ - Número de éxitos (viajan con mascota): $x = 12$ Calculamos la proporción muestral $\hat{p}$: $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{12}{300} = 0.04$$ Y la proporción complementaria $\hat{q}$ (personas que no viajan con mascota): $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.04 = 0.96$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral siempre es el número de casos favorables dividido entre el total de la muestra.

Para un nivel de confianza del $97\%$, tenemos que $1 - \alpha = 0.97$. Calculamos el valor de $\alpha$: $$\alpha = 1 - 0.97 = 0.03 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.015$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2}$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$$ Buscando en la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$, encontramos que el valor que corresponde a una probabilidad de $0.985$ es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.17}$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, tomamos el más cercano o hacemos una interpolación, aunque en este caso $0.985$ es exacto para $2.17$.

La fórmula para el intervalo de confianza de una proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Primero calculamos el error máximo admisible $E$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.04 \cdot 0.96}{300}}$$ $$E = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.0384}{300}} = 2.17 \cdot \sqrt{0.000128} \approx 2.17 \cdot 0.01131 \approx 0.0245$$ Ahora construimos el intervalo: $$I.C. = (0.04 - 0.0245, 0.04 + 0.0245) = (0.0155, 0.0645)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (0.0155, 0.0645)}$$

**b) (1.25 puntos) Manteniendo la misma proporción muestral y con un nivel de confianza del 95%, ¿cuántas personas que viajan en tren deberán seleccionarse aleatoriamente como mínimo para que la proporción muestral difiera de la proporción poblacional a lo sumo en un 2%?** En este apartado cambian las condiciones: - Proporción muestral: $\hat{p} = 0.04$ y $\hat{q} = 0.96$ - Nivel de confianza: $95\% \implies 1 - \alpha = 0.95$ - Error máximo admisible: $E = 2\% = 0.02$ Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el $95\%$: $$\alpha = 0.05 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.025$$ $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$$ Buscando en la tabla $N(0, 1)$: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \implies E^2 = z_{\alpha/2}^2 \cdot \frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n} \implies n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n = \frac{(1.96)^2 \cdot 0.04 \cdot 0.96}{(0.02)^2}$$ $$n = \frac{3.8416 \cdot 0.0384}{0.0004} = \frac{0.14751744}{0.0004} = 368.7936$$ Como el número de personas debe ser un número entero y debemos garantizar que el error no supere el $2\%$, redondeamos siempre al alza. ✅ **Resultado (Tamaño de la muestra):** $$\boxed{n \ge 369 \text{ personas}}$$ 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, aunque el decimal sea pequeño, siempre se redondea hacia el siguiente número entero para cumplir la restricción del error.