Ecuaciones matriciales y problemas con sistemas de ecuaciones

**a.- (5 puntos) Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y la ecuación matricial $AX - IX = B$, despeje la matriz $X$ y resuelva dicha ecuación matricial.** Primero, debemos despejar la matriz $X$ de la ecuación $AX - IX = B$. Para ello, sacamos factor común $X$ por la derecha: $$(A - I)X = B$$ Sea $C = A - I$. Entonces la ecuación es $CX = B$. Si la matriz $C$ es invertible (su determinante es distinto de cero), podemos multiplicar por $C^{-1}$ por la izquierda en ambos miembros: $$C^{-1} (CX) = C^{-1} B$$ $$IX = C^{-1} B$$ $$X = C^{-1} B$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en álgebra matricial el orden de los factores importa. Como $C$ multiplica a $X$ por la izquierda, su inversa debe aparecer también por la izquierda. $$\boxed{X = (A - I)^{-1}B}$$

Calculamos primero la matriz $C = A - I$: $$C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-1 & 1-0 \\ -1-0 & -1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos su determinante para comprobar si tiene inversa: $$|C| = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = (1)(-2) - (1)(-1) = -2 + 1 = -1$$ Como $|C| \neq 0$, la matriz $C$ tiene inversa y podemos continuar con el cálculo. $$\boxed{|C| = -1}$$

Para hallar $C^{-1}$, usamos la fórmula $C^{-1} = \frac{1}{|C|} \text{Adj}(C)^T$: 1. Matriz de adjuntos $\text{Adj}(C)$: - $\text{Adj}(c_{11}) = +(-2) = -2$ - $\text{Adj}(c_{12}) = -(-1) = 1$ - $\text{Adj}(c_{21}) = -(1) = -1$ - $\text{Adj}(c_{22}) = +(1) = 1$ $$\text{Adj}(C) = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ 2. Matriz adjunta traspuesta $\text{Adj}(C)^T$: $$\text{Adj}(C)^T = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Inversa $C^{-1}$: $$C^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En matrices $2 \times 2$, un truco rápido para la inversa es intercambiar los elementos de la diagonal principal, cambiar el signo de los de la diagonal secundaria y dividir por el determinante. $$\boxed{C^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}}$$

Finalmente, calculamos $X = C^{-1} B$: $$X = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Realizamos la multiplicación fila por columna: - Fila 1: $(2\cdot 0 + 1\cdot 1) = 1$ y $(2\cdot 1 + 1\cdot 2) = 4$ - Fila 2: $(-1\cdot 0 + (-1)\cdot 1) = -1$ y $(-1\cdot 1 + (-1)\cdot 2) = -3$ ✅ **Resultado Final del apartado a:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}}$$

**b.- (5 puntos) Un producto llamado "TechGadget" puede ser adquirido a través de tres canales de venta: en tienda física (a un precio de 10 €), en tienda online (a un precio de 6 €), y en tienda de segunda mano (a un precio de 5 €)...** Definimos las variables: - $x$: número de unidades vendidas en tienda física. - $y$: número de unidades vendidas en tienda online. - $z$: número de unidades vendidas en tienda de segunda mano. Traducción del enunciado a ecuaciones: 1. Total de ventas (1.600 €): $10x + 6y + 5z = 1600$ 2. Relación de unidades online y física ($y$ es 5 veces $x$): $y = 5x \implies 5x - y = 0$ 3. Comparación de ingresos ($5z$ es $10x$ más 800): $5z = 10x + 800 \implies 10x - 5z = -800$ Simplificamos la tercera ecuación dividiendo entre 5: $2x - z = -160$. El sistema es: $$\begin{cases} 10x + 6y + 5z = 1600 \\ 5x - y = 0 \\ 2x - z = -160 \end{cases}$$ $$\boxed{\begin{cases} 10x + 6y + 5z = 1600 \\ 5x - y = 0 \\ 2x - z = -160 \end{cases}}$$

Escribimos el sistema en forma matricial $MX = R$: $$\begin{pmatrix} 10 & 6 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1600 \\ 0 \\ -160 \end{pmatrix}$$ Resolvemos por la **Regla de Cramer**. Primero calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $M$: $$|M| = \begin{vmatrix} 10 & 6 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ Aplicamos Sarrus: $$|M| = [10(-1)(-1) + 6(0)(2) + 5(5)(0)] - [5(-1)(2) + 0(0)(10) + (-1)(5)(6)]$$ $$|M| = [10 + 0 + 0] - [-10 + 0 - 30] = 10 - (-40) = 50$$ Ahora calculamos los determinantes asociados a cada incógnita: - **Para x:** $$|M_x| = \begin{vmatrix} 1600 & 6 & 5 \\ 0 & -1 & 0 \\ -160 & 0 & -1 \end{vmatrix} = [1600(-1)(-1) + 0 + 0] - [(-160)(-1)(5) + 0 + 0] = 1600 - 800 = 800$$ $$x = \frac{800}{50} = 16$$ - **Para y:** Como $5x - y = 0$, es más sencillo despejar directamente: $y = 5(16) = 80$. - **Para z:** Como $2x - z = -160$, despejamos $z$: $z = 2x + 160 = 2(16) + 160 = 32 + 160 = 192$. 💡 **Tip:** Aunque el ejercicio pida técnicas matriciales, una vez hallada una incógnita mediante Cramer, puedes sustituir en las ecuaciones más simples para ahorrar tiempo. ✅ **Resultado Final del apartado b:** Se han vendido **16 unidades en tienda física**, **80 unidades online** y **192 unidades de segunda mano**. $$\boxed{x = 16, \quad y = 80, \quad z = 192}$$