Programación Lineal: Optimización del presupuesto de ocio

**a.- (2 puntos) ¿Puede Javier asistir a 8 partidos de fútbol y a 8 conciertos? En caso afirmativo, ¿gasta todo su presupuesto?** En primer lugar, definimos las variables de nuestro problema: - $x$: número de partidos de fútbol. - $y$: número de conciertos. Para que la opción de asistir a 8 partidos ($x=8$) y 8 conciertos ($y=8$) sea posible, debe cumplir todas las condiciones impuestas: 1. **Condición de asistencia:** Debe asistir a al menos tantos partidos como conciertos: $x \ge y$. Como $8 \ge 8$, se cumple. 2. **Máximo de partidos:** Un máximo de 14 partidos: $x \le 14$. Como $8 \le 14$, se cumple. 3. **Presupuesto:** El coste total no debe superar los 1.000 euros. El coste se calcula como $60x + 40y$. $$60(8) + 40(8) = 480 + 320 = 800 \text{ euros}$$ Como $800 \le 1000$, la opción es viable. Respecto al gasto del presupuesto: $1000 - 800 = 200$ euros. **No gasta todo su presupuesto**; le sobran 200 euros. 💡 **Tip:** En este tipo de problemas, comprueba siempre que las variables sean números enteros, ya que no se puede asistir a "medio" partido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí puede asistir. No gasta todo su presupuesto (sobran 200€).}}$$

**b.- (8 puntos) Si Javier busca maximizar el número de salidas para divertirse, plantee y resuelva un problema de programación lineal para determinar cuántas veces puede ir a cada sitio. ¿Cuántas escapadas disfrutará en total?** Para maximizar el número de salidas totales ($x + y$), planteamos el siguiente modelo: **Función objetivo:** $$f(x, y) = x + y$$ **Restricciones:** 1. Presupuesto: $60x + 40y \le 1000$ 2. Relación fútbol/conciertos: $x \ge y$ (o lo que es lo mismo, $x - y \ge 0$) 3. Límite de partidos: $x \le 14$ 4. No negatividad: $x \ge 0, y \ge 0$ Podemos simplificar la restricción del presupuesto dividiendo entre 20: $$3x + 2y \le 50$$

Dibujamos las rectas asociadas a las restricciones para hallar la región factible: - $r_1: 3x + 2y = 50$ (Pasa por $(0, 25)$ y $(16.67, 0)$) - $r_2: x = y$ (Bisectriz del primer cuadrante) - $r_3: x = 14$ (Recta vertical) Los vértices de la región factible se obtienen mediante la intersección de estas rectas: - **Vértice A (Origen):** Intersección de $x=0$ e $y=0 \implies \mathbf{A(0, 0)}$ - **Vértice B:** Intersección de $y=0$ y $x=14 \implies \mathbf{B(14, 0)}$ - **Vértice C:** Intersección de $x=14$ y $3x + 2y = 50$. $3(14) + 2y = 50 \implies 42 + 2y = 50 \implies 2y = 8 \implies y = 4$. Por tanto, $\mathbf{C(14, 4)}$. - **Vértice D:** Intersección de $x=y$ y $3x + 2y = 50$. $3x + 2x = 50 \implies 5x = 50 \implies x = 10, y = 10$. Por tanto, $\mathbf{D(10, 10)}$. 💡 **Tip:** La región factible es el conjunto de puntos que cumplen todas las desigualdades a la vez. En este caso, es un cuadrilátero.

Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = x + y$ en cada uno de los vértices hallados para encontrar el máximo: $$\begin{array}{l|l} \text{Vértice} & f(x, y) = x + y \\\hline A(0, 0) & 0 + 0 = 0 \\ B(14, 0) & 14 + 0 = 14 \\ C(14, 4) & 14 + 4 = 18 \\ D(10, 10) & 10 + 10 = 20 \\ \end{array}$$ El valor máximo es 20, y se alcanza en el punto $(10, 10)$. Esto significa que Javier debe asistir a **10 partidos de fútbol** y a **10 conciertos** para maximizar su diversión. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo de 20 escapadas (10 partidos y 10 conciertos).}}$$