Estudio de una función a trozos: continuidad, integral y límite

**a.- (3 puntos) Estudie la continuidad de $f(x)$.** Primero analizamos la continuidad en cada una de las ramas de la función definida a trozos: 1. En el intervalo $(-\infty, 2)$, la función es $f(x) = \frac{1}{2-x}$. Esta es una función racional cuyo denominador se anula en $x=2$. Como $x=2$ no pertenece a este intervalo abierto, la función es **continua** en $(-\infty, 2)$. 2. En el intervalo $(2, +\infty)$, la función es $f(x) = x - \sqrt{x^2 - 2x}$. Para que la raíz exista, necesitamos que $x^2 - 2x \ge 0$. Las raíces de $x^2 - 2x = 0$ son $x=0$ y $x=2$. Para $x > 2$, el radicando $x^2 - 2x$ es siempre positivo, por lo que la función es **continua** en $(2, +\infty)$. 💡 **Tip:** Una función a trozos suele presentar problemas de continuidad únicamente en los puntos de salto entre ramas. No obstante, siempre hay que verificar si alguna rama individual tiene restricciones de dominio (como divisiones por cero o raíces negativas).

Para que $f(x)$ sea continua en $x=2$, deben coincidir el valor de la función y los límites laterales: 1. **Valor de la función:** $f(2) = 1$ (según el enunciado). 2. **Límite por la izquierda ($x \to 2^-$):** $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{2-x} = \frac{1}{2-1.99...} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$ 3. **Límite por la derecha ($x \to 2^+$):** $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x - \sqrt{x^2 - 2x}) = 2 - \sqrt{2^2 - 2(2)} = 2 - 0 = 2$$ Como el límite por la izquierda es infinito, existe una discontinuidad inevitable de salto infinito en $x=2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{f(x) es continua en } \mathbb{R} \setminus \{2\}. \text{ En } x=2 \text{ presenta una discontinuidad de salto infinito.}}$$

**b.- (3 puntos) Calcule $\int_0^1 f(x) dx$.** Para calcular esta integral, observamos que el intervalo de integración $[0, 1]$ se encuentra totalmente dentro de la primera rama de la función ($x < 2$). Por tanto, usaremos $f(x) = \frac{1}{2-x}$. La integral a resolver es: $$\int_0^1 \frac{1}{2-x} dx$$ Esta es una integral casi inmediata de tipo logarítmico. Recordemos que $\int \frac{u'}{u} dx = \ln|u| + C$. En nuestro caso, si $u = 2-x$, entonces $u' = -1$. Ajustamos el signo: $$\int \frac{1}{2-x} dx = -\int \frac{-1}{2-x} dx = -\ln|2-x|$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con el signo negativo al integrar funciones donde la $x$ tiene un coeficiente negativo, como en $(a-x)$.

Aplicamos los límites de integración de $0$ a $1$: $$\int_0^1 \frac{1}{2-x} dx = \left[ -\ln|2-x| \right]_0^1$$ Calculamos los valores: - Para $x=1$: $-\ln|2-1| = -\ln(1) = 0$ - Para $x=0$: $-\ln|2-0| = -\ln(2)$ Restamos siguiendo la Regla de Barrow: $$0 - (-\ln(2)) = \ln(2)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int_0^1 f(x) dx = \ln(2) \approx 0.693}$$

**c.- (4 puntos) Calcule $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.** Cuando $x \to +\infty$, estamos en la tercera rama de la función: $$\lim_{x \to +\infty} (x - \sqrt{x^2 - 2x})$$ Al evaluar, obtenemos una indeterminación del tipo $\infty - \infty$. Para resolverla, multiplicamos y dividimos por el conjugado de la expresión: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(x - \sqrt{x^2 - 2x})(x + \sqrt{x^2 - 2x})}{x + \sqrt{x^2 - 2x}}$$ En el numerador aplicamos la identidad $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - (x^2 - 2x)}{x + \sqrt{x^2 - 2x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - x^2 + 2x}{x + \sqrt{x^2 - 2x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{x + \sqrt{x^2 - 2x}}$$ 💡 **Tip:** El método del conjugado es la herramienta estándar para resolver límites de tipo $\infty - \infty$ que involucran raíces cuadradas.

Ahora tenemos una indeterminación de tipo $\frac{\infty}{\infty}$. Para resolverla, dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de $x$ (que es $x^1$): $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{\sqrt{x^2 - 2x}}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{1 + \sqrt{\frac{x^2 - 2x}{x^2}}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{1 + \sqrt{1 - \frac{2}{x}}}$$ Como $\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{x} = 0$, el límite resulta: $$\frac{2}{1 + \sqrt{1 - 0}} = \frac{2}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1}$$