Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes en el uso de telefonía móvil

**a.- (3 puntos) Se elige una persona al azar. Calcule la probabilidad de que tenga más de 65 años y posea teléfono móvil.** Primero, definimos los sucesos según los grupos de edad y la posesión de móvil: - $J$: Persona con menos de 30 años (Joven). - $A$: Persona entre 30 y 65 años (Adulto). - $M$: Persona con más de 65 años (Mayor). - $T$: Tiene teléfono móvil. - $\bar{T}$: No tiene teléfono móvil. Extraemos los datos del enunciado: - $P(J) = 0.30$ - $P(A) = 0.50$ - $P(M) = 0.20$ Probabilidades condicionadas (uso de móvil por grupo): - $P(T|J) = 0.70$ - $P(T|A) = 0.95$ - $P(T|M) = 0.50$ Representamos la situación en un árbol de probabilidad: 💡 **Tip:** El diagrama de árbol es ideal cuando un suceso depende de otro anterior (en este caso, tener móvil depende del grupo de edad).

Para calcular la probabilidad de que una persona tenga más de 65 años **y** posea teléfono móvil, buscamos la probabilidad de la intersección $P(M \cap T)$. Aplicando la definición de probabilidad condicionada: $$P(M \cap T) = P(M) \cdot P(T|M)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(M \cap T) = 0.20 \cdot 0.50 = 0.10$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M \cap T) = 0.1}$$ Esto significa que hay un 10% de probabilidad de elegir a una persona mayor con móvil.

**b.- (2 puntos) Elegimos una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga teléfono móvil?** Utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. El suceso $T$ (tener móvil) puede ocurrir a través de cualquiera de los tres grupos de edad, que forman una partición del espacio muestral: $$P(T) = P(J \cap T) + P(A \cap T) + P(M \cap T)$$ $$P(T) = P(J) \cdot P(T|J) + P(A) \cdot P(T|A) + P(M) \cdot P(T|M)$$ Calculamos cada término: - $P(J \cap T) = 0.30 \cdot 0.70 = 0.21$ - $P(A \cap T) = 0.50 \cdot 0.95 = 0.475$ - $P(M \cap T) = 0.20 \cdot 0.50 = 0.10$ Sumamos los resultados: $$P(T) = 0.21 + 0.475 + 0.10 = 0.785$$ 💡 **Tip:** La probabilidad total es la suma de las probabilidades de todas las ramas del árbol que terminan en el suceso deseado ($T$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(T) = 0.785}$$

**c.- (2 puntos) Elegimos una persona al azar y resulta que tiene teléfono móvil. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga más de 65 años?** Se trata de una probabilidad condicionada inversa. Sabemos que la persona tiene móvil ($T$) y queremos saber la probabilidad de que sea mayor ($M$), es decir, $P(M|T)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(M|T) = \frac{P(M \cap T)}{P(T)}$$ Utilizamos los valores obtenidos en los apartados anteriores: - $P(M \cap T) = 0.1$ - $P(T) = 0.785$ Operamos: $$P(M|T) = \frac{0.1}{0.785} \approx 0.127388...$$ Redondeando a cuatro decimales: $$P(M|T) \approx 0.1274$$ 💡 **Tip:** Bayes siempre relaciona la probabilidad de una "causa" (grupo de edad) dado un "efecto" observado (tener móvil). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M|T) \approx 0.1274}$$

**d.- (3 puntos) Elegimos a una persona de cada uno de los tres grupos de edad. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres tengan teléfono móvil? (Puede suponerse independencia entre las tres personas).** Sean los sucesos: - $T_J$: La persona del grupo joven tiene móvil. - $T_A$: La persona del grupo adulto tiene móvil. - $T_M$: La persona del grupo mayor tiene móvil. Como el enunciado indica que las elecciones son **independientes**, la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades individuales: $$P(T_J \cap T_A \cap T_M) = P(T|J) \cdot P(T|A) \cdot P(T|M)$$ Sustituimos las probabilidades dadas: - $P(T|J) = 0.70$ - $P(T|A) = 0.95$ - $P(T|M) = 0.50$ Calculamos el producto: $$P(T_J \cap T_A \cap T_M) = 0.70 \cdot 0.95 \cdot 0.50$$ $$P(T_J \cap T_A \cap T_M) = 0.3325$$ 💡 **Tip:** Cuando los sucesos son independientes, se cumple que $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Aquí extendemos la propiedad a tres personas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{las tres con móvil}) = 0.3325}$$