Distribución Binomial e Inferencia sobre Proporciones

**a.- (2 puntos) En una ciudad, según los datos del INE, el 52% de los habitantes son mujeres y el 48% son hombres. Se eligen cuatro personas de esa ciudad con reemplazamiento. Sea $X$ la variable que cuenta el número de hombres seleccionados. ¿Qué distribución tiene la variable $X$? Calcule $P(X=2)$.** Analizamos las características del experimento: 1. Se realizan $n=4$ pruebas independientes (ya que es con reemplazamiento). 2. En cada prueba solo hay dos resultados posibles: ser hombre (éxito) o mujer (fracaso). 3. La probabilidad de éxito $p$ es constante en cada prueba: $p = P(\text{Hombre}) = 0,48$. 4. Por tanto, la probabilidad de fracaso es $q = 1 - p = 0,52$. La variable $X$, que cuenta el número de éxitos en $n$ pruebas, sigue una **distribución Binomial**. 💡 **Tip:** Una distribución es Binomial $B(n, p)$ cuando realizamos $n$ experimentos independientes con una probabilidad de éxito $p$ constante. $$\boxed{X \sim B(4; \, 0,48)}$$

Para calcular $P(X=2)$, utilizamos la función de probabilidad de la distribución Binomial: $$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ Para nuestro caso ($n=4, p=0,48, q=0,52, k=2$): $$P(X=2) = \binom{4}{2} \cdot 0,48^2 \cdot 0,52^{4-2}$$ Calculamos el número combinatorio: $$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2! \cdot (4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$$ Sustituimos y operamos: $$P(X=2) = 6 \cdot 0,48^2 \cdot 0,52^2$$ $$P(X=2) = 6 \cdot 0,2304 \cdot 0,2704$$ $$P(X=2) = 0,37385472$$ Redondeando a cuatro decimales: $$\boxed{P(X=2) \approx 0,3739}$$

**b.1 (4 puntos) Si queremos que el intervalo no tenga una amplitud de más de 0,08, ¿cuál es el número mínimo de aficionados a los que tenemos que preguntar?** El enunciado nos da el nivel de confianza y la amplitud máxima: - Nivel de confianza $95\% \implies 1-\alpha = 0,95$. - Amplitud $A = 0,08$. Como la amplitud es el doble del error máximo admisible ($A = 2E$), el error es $E = \frac{0,08}{2} = 0,04$. Buscamos el valor crítico $Z_{\alpha/2}$ para el $95\%$: $$P(Z \le Z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{0,05}{2} = 0,975 \implies Z_{\alpha/2} = 1,96$$ Como no conocemos la proporción poblacional $p$, nos ponemos en el **caso más desfavorable** (máxima varianza), que ocurre cuando $p = q = 0,5$. La fórmula del error para la proporción es $E = Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p \cdot q}{n}}$. Despejando $n$: $$n = \frac{Z_{\alpha/2}^2 \cdot p \cdot q}{E^2}$$ 💡 **Tip:** Si no se conoce la proporción previa en un problema de tamaño muestral, utiliza siempre $p=0,5$ para garantizar que el tamaño sea suficiente. $$n = \frac{1,96^2 \cdot 0,5 \cdot 0,5}{0,04^2} = \frac{3,8416 \cdot 0,25}{0,0016} = \frac{0,9604}{0,0016} = 600,25$$ Como el número de personas debe ser entero, redondeamos siempre al alza: $$\boxed{n = 601 \text{ aficionados}}$$

**b.2 (4 puntos) Decidimos preguntar a 120 aficionados, de los cuales 80 dicen que piensan que el equipo ascenderá. Calcule un intervalo de confianza para la proporción de aficionados que piensa que el equipo va a ascender.** Identificamos los datos de la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 120$ - Proporción muestral: $\hat{p} = \frac{80}{120} = \frac{2}{3} \approx 0,6667$ - Proporción complementaria: $\hat{q} = 1 - \hat{p} = \frac{1}{3} \approx 0,3333$ - Valor crítico para el $95\%$ (calculado antes): $Z_{\alpha/2} = 1,96$ La fórmula del intervalo de confianza es: $$IC = \left( \hat{p} - Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}, \, \hat{p} + Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos primero el error cometido: $$E = 1,96 \cdot \sqrt{\frac{0,6667 \cdot 0,3333}{120}} = 1,96 \cdot \sqrt{\frac{0,2222}{120}} = 1,96 \cdot \sqrt{0,001852} \approx 1,96 \cdot 0,0430 = 0,0843$$ Determinamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $0,6667 - 0,0843 = 0,5824$ - Límite superior: $0,6667 + 0,0843 = 0,7510$ El intervalo de confianza al $95\%$ es: $$\boxed{IC = (0,5824; \, 0,7510)}$$