Ecuaciones matriciales y problemas con sistemas de ecuaciones

**a.- (5 puntos) Determine el orden de la matriz $X$ para que la ecuación matricial $AX + 3B = C$ esté bien planteada, siendo $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$. Resuelva la ecuación matricial despejando previamente $X$.** Para que la ecuación matricial esté bien planteada, debemos analizar las dimensiones de las matrices involucradas: - $A$ es una matriz de orden $2 \times 2$. - $B$ es una matriz de orden $2 \times 3$. - $C$ es una matriz de orden $2 \times 3$. En la ecuación $AX + 3B = C$, para poder sumar $AX$ con $3B$, el producto $AX$ debe tener el mismo orden que $B$, es decir, $2 \times 3$. Para multiplicar $A_{2 \times 2}$ por $X_{m \times n}$, el número de filas de $X$ ($m$) debe coincidir con el número de columnas de $A$ (2). Además, el resultado $AX_{2 \times n}$ debe ser $2 \times 3$, por lo que $n=3$. 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar $M_{p \times q} \cdot N_{q \times r}$, el resultado es de orden $p \times r$. ✅ **Resultado (Orden de X):** $$\boxed{X \text{ debe ser de orden } 2 \times 3}$$

Para resolver la ecuación $AX + 3B = C$, aislamos el término que contiene a $X$: $$AX = C - 3B$$ Si la matriz $A$ es invertible (su determinante es distinto de cero), podemos multiplicar por la izquierda por $A^{-1}$: $$A^{-1}(AX) = A^{-1}(C - 3B)$$ $$IX = A^{-1}(C - 3B)$$ $$X = A^{-1}(C - 3B)$$ Comprobamos si existe $A^{-1}$ calculando $|A|$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1) - (2 \cdot 1) = 1 - 2 = -1 \neq 0.$$ Como el determinante es distinto de cero, la matriz $A$ tiene inversa y el despeje es válido. $$\boxed{X = A^{-1}(C - 3B)}$$

Calculamos la matriz de adjuntos y su traspuesta para obtener $A^{-1}$: 1. Matriz de adjuntos $Adj(A)$: - $Adj(1) = 1$ - $Adj(1) = -2$ - $Adj(2) = -1$ - $Adj(1) = 1$ $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ 2. Traspuesta de la matriz de adjuntos: $$(Adj(A))^T = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Aplicamos la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^T$: $$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, la inversa se puede hallar rápido intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando el signo de la secundaria y dividiendo por el determinante.

Primero calculamos la matriz resultante de la resta $C - 3B$: $$C - 3B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} - 3 \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ $$C - 3B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -3 & 2 \\ -4 & -1 & 4 \end{pmatrix}$$ Ahora multiplicamos $A^{-1}$ por este resultado: $$X = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & -3 & 2 \\ -4 & -1 & 4 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} (-1)(5) + (1)(-4) & (-1)(-3) + (1)(-1) & (-1)(2) + (1)(4) \\ (2)(5) + (-1)(-4) & (2)(-3) + (-1)(-1) & (2)(2) + (-1)(4) \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} -5 - 4 & 3 - 1 & -2 + 4 \\ 10 + 4 & -6 + 1 & 4 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 & 2 & 2 \\ 14 & -5 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -9 & 2 & 2 \\ 14 & -5 & 0 \end{pmatrix}}$$

**b.- (5 puntos) Un pueblo necesita recaudar fondos para combatir una plaga de termitas y han decidido financiar parte del tratamiento mediante la venta de participaciones para el sorteo de Lotería del 22 de diciembre. Ofrecen tres tipos de participaciones: de 10 euros, de 25 euros y de 5 euros. Se sabe que han vendido la mitad de participaciones de 10 euros que de 25 euros; en total, han recaudado 7.100 € y han vendido 430 participaciones. Utilizando técnicas matriciales, determine la cantidad de participaciones vendidas de cada tipo. Con una ganancia de 2,50 € por cada participación de 10 €, de 5 euros por cada participación de 25 € y de 1 € por cada participación de 5 €, ¿a cuánto asciende la ganancia total?** Definimos las variables: - $x$: número de participaciones de 10 €. - $y$: número de participaciones de 25 €. - $z$: número de participaciones de 5 €. Traducimos el enunciado a ecuaciones: 1. Se vende la mitad de $x$ que de $y$: $x = \frac{y}{2} \implies 2x - y = 0$. 2. Total de participaciones: $x + y + z = 430$. 3. Recaudación total: $10x + 25y + 5z = 7.100$. Podemos simplificar esta dividiendo entre 5: $2x + 5y + z = 1.420$. El sistema es: $$\begin{cases} x + y + z = 430 \\ 2x + 5y + z = 1.420 \\ 2x - y = 0 \end{cases}$$

Escribimos la matriz ampliada del sistema y aplicamos el método de Gauss: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 430 \\ 2 & 5 & 1 & 1.420 \\ 2 & -1 & 0 & 0 \end{array}\right)$$ Realizamos operaciones por filas para hacer ceros bajo el pivote: $F_2 \to F_2 - 2F_1$: $F_3 \to F_3 - 2F_1$: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 430 \\ 0 & 3 & -1 & 560 \\ 0 & -3 & -2 & -860 \end{array}\right)$$ Ahora, hacemos cero el elemento de la fila 3, columna 2 mediante $F_3 \to F_3 + F_2$: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 430 \\ 0 & 3 & -1 & 560 \\ 0 & 0 & -3 & -300 \end{array}\right)$$ Despejamos las variables empezando por la última fila: 1. $-3z = -300 \implies z = \frac{-300}{-3} = 100$. 2. $3y - z = 560 \implies 3y - 100 = 560 \implies 3y = 660 \implies y = 220$. 3. $x + y + z = 430 \implies x + 220 + 100 = 430 \implies x = 430 - 320 = 110$. ✅ **Resultado (Participaciones):** $$\boxed{x = 110, \; y = 220, \; z = 100}$$

Utilizamos los valores obtenidos para calcular la ganancia total según los beneficios indicados: - Beneficio por $x$ (10 €): 2,50 €. - Beneficio por $y$ (25 €): 5,00 €. - Beneficio por $z$ (5 €): 1,00 €. $$\text{Ganancia} = 2,50x + 5y + 1z$$ $$\text{Ganancia} = 2,50(110) + 5(220) + 1(100)$$ $$\text{Ganancia} = 275 + 1.100 + 100 = 1.475 \text{ €}$$ ✅ **Resultado final apartado b):** $$\boxed{\text{La ganancia total asciende a 1.475 €}}$$