Optimización de la producción mediante programación lineal

**a.- (8 puntos) Plantee y resuelva un problema que permita determinar el número de unidades de cada tipo que deben producirse para maximizar la ganancia total y a cuánto ascendería dicha ganancia.** Primero, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de unidades producidas del producto $A$. - $y$: número de unidades producidas del producto $B$. La función que queremos maximizar es la ganancia total ($G$): $$f(x, y) = 30x + 40y$$ Ahora, establecemos las restricciones basadas en los recursos y los requisitos de distribución: 1. **Mano de obra:** $3x + 2y \le 150$ 2. **Materiales:** $2x + 3y \le 150$ 3. **Producción mínima:** $x + y \ge 20$ 4. **No negatividad:** $x \ge 0, y \ge 0$ 💡 **Tip:** En problemas de programación lineal, siempre es fundamental definir claramente qué representan $x$ e $y$ y no olvidar las condiciones de no negatividad si el contexto lo requiere (no se pueden producir unidades negativas).

Para resolver el problema, representamos las desigualdades en el plano cartesiano para hallar la región factible. Calculamos los puntos de corte de las rectas asociadas con los ejes: - $r_1: 3x + 2y = 150 \implies (0, 75)$ y $(50, 0)$ - $r_2: 2x + 3y = 150 \implies (0, 50)$ y $(75, 0)$ - $r_3: x + y = 20 \implies (0, 20)$ y $(20, 0)$ Los vértices de la región factible se obtienen mediante la intersección de estas rectas: - **Punto A:** Intersección de $x+y=20$ con el eje $x$ ($y=0$): $A(20, 0)$. - **Punto B:** Intersección de $3x+2y=150$ con el eje $x$ ($y=0$): $B(50, 0)$. - **Punto C:** Intersección de $3x+2y=150$ y $2x+3y=150$. Resolviendo el sistema: $$\begin{cases} 3x + 2y = 150 \\ 2x + 3y = 150 \end{cases} \implies 3x + 2\left(\frac{150-2x}{3}\right) = 150 \implies 9x + 300 - 4x = 450 \implies 5x = 150 \implies x=30, y=30. \quad C(30, 30)$$ - **Punto D:** Intersección de $2x+3y=150$ con el eje $y$ ($x=0$): $D(0, 50)$. - **Punto E:** Intersección de $x+y=20$ con el eje $y$ ($x=0$): $E(0, 20)$. 💡 **Tip:** El teorema fundamental de la programación lineal indica que, si existe una solución óptima, esta se encuentra en uno de los vértices de la región factible.

Evaluamos $f(x, y) = 30x + 40y$ en cada vértice: - $f(20, 0) = 30(20) + 40(0) = 600$ € - $f(50, 0) = 30(50) + 40(0) = 1500$ € - $f(30, 30) = 30(30) + 40(30) = 900 + 1200 = 2100$ € - $f(0, 50) = 30(0) + 40(50) = 2000$ € - $f(0, 20) = 30(0) + 40(20) = 800$ € La ganancia máxima se obtiene en el punto $C(30, 30)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se deben producir 30 unidades de A y 30 de B para una ganancia máxima de 2100 €}}$$

**b.- (2 puntos) Considerando la región factible del apartado a.- y una nueva función objetivo dada por: $\max f(x, y) = 30x + by$, donde $b$ es un valor desconocido. Razone que (40,40) no puede ser solución óptima del nuevo problema. Análogo con (20,20).** Primero, analizamos el punto $(40, 40)$. Para que un punto sea solución óptima, primero debe pertenecer a la región factible (cumplir todas las restricciones). Comprobamos la restricción de mano de obra para $(x, y) = (40, 40)$: $$3(40) + 2(40) = 120 + 80 = 200$$ Como $200 \not\le 150$, el punto **no pertenece a la región factible**. También viola la restricción de materiales: $$2(40) + 3(40) = 80 + 120 = 200 \not\le 150$$ ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{El punto (40, 40) no puede ser solución óptima porque no es un punto factible}}$$

Analizamos ahora el punto $(20, 20)$. Comprobamos si es factible: - Mano de obra: $3(20) + 2(20) = 100 \le 150$ (Sí) - Materiales: $2(20) + 3(20) = 100 \le 150$ (Sí) - Total: $20 + 20 = 40 \ge 20$ (Sí) - No negatividad: $20 \ge 0$ (Sí) El punto $(20, 20)$ es factible, pero es un **punto interior** de la región factible, ya que no satisface ninguna de las restricciones de los recursos como igualdad ($100 \lt 150$ y $40 \gt 20$). En programación lineal con una función objetivo lineal no constante (como $30x + by$, donde al menos el coeficiente de $x$ es distinto de cero), la solución óptima siempre debe encontrarse en la **frontera** de la región factible (en un vértice o en un segmento que une dos vértices). 💡 **Tip:** Un punto que no está en el borde de la región siempre permitirá pequeños desplazamientos para aumentar el valor de la función objetivo. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{El punto (20, 20) no puede ser solución óptima porque es un punto interior de la región factible}}$$