Estudio de extremos, curvatura e integral de una función cúbica

**a.- (4 puntos) Calcule el valor máximo y mínimo de $f(x)$ cuando $x \in [0,8]$ y la abscisa donde se obtienen dichos valores, especificando si se corresponde con extremos relativos y/o absolutos.** Para hallar los extremos relativos, primero calculamos la derivada de la función $f(x) = x^3 - 9x^2 + 40x + 50$: $$f'(x) = 3x^2 - 18x + 40$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$3x^2 - 18x + 40 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-18) \pm \sqrt{(-18)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 40}}{2 \cdot 3} = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 480}}{6} = \frac{18 \pm \sqrt{-156}}{6}$$ Como el discriminante es negativo ($\Delta = -156 \lt 0$), la ecuación no tiene soluciones reales. Esto significa que **la función no tiene extremos relativos** (máximos o mínimos locales) en su dominio. 💡 **Tip:** Si la derivada nunca es cero y la función es continua, la función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente.

Como $f'(x) = 3x^2 - 18x + 40$ es una parábola que siempre es positiva (ya que el coeficiente de $x^2$ es positivo y no tiene raíces), sabemos que $f'(x) \gt 0$ para todo $x$. Por tanto, $f(x)$ es **estrictamente creciente** en todo su dominio $[0, 8]$. $$\begin{array}{c|c} x & (0, 8) \\ \hline f'(x) & + \\ \hline f(x) & \nearrow \end{array}$$ Al ser una función estrictamente creciente en un intervalo cerrado $[a, b]$, los **extremos absolutos** se encuentran necesariamente en los extremos del intervalo: 1. **Mínimo absoluto:** Se alcanza en el extremo inferior del dominio, $x = 0$. $$f(0) = 0^3 - 9(0)^2 + 40(0) + 50 = 50$$ 2. **Máximo absoluto:** Se alcanza en el extremo superior del dominio, $x = 8$. $$f(8) = 8^3 - 9(8^2) + 40(8) + 50 = 512 - 576 + 320 + 50 = 306$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Mínimo absoluto en } x = 0 \text{ con valor } 50. \text{ Máximo absoluto en } x = 8 \text{ con valor } 306. \text{ No existen extremos relativos.}}$$

**b.- (3 puntos) ¿$f(x)$ tiene algún punto de inflexión? Analice la concavidad y convexidad de $f(x)$.** Para estudiar la curvatura y los puntos de inflexión, calculamos la segunda derivada partiendo de $f'(x) = 3x^2 - 18x + 40$: $$f''(x) = 6x - 18$$ Igualamos a cero para encontrar posibles puntos de inflexión: $$6x - 18 = 0 \implies 6x = 18 \implies x = 3$$ Analizamos el signo de $f''(x)$ alrededor de $x = 3$ dentro del dominio $[0, 8]$: $$\begin{array}{c|ccc} x & [0, 3) & 3 & (3, 8] \\ \hline f''(x) & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \cap \text{ (Cóncava)} & \text{P.I.} & \cup \text{ (Convexa)} \end{array}$$ - En el intervalo $[0, 3)$, $f''(x) \lt 0$, por lo que la función es **cóncava** (o cóncava hacia abajo). - En el intervalo $(3, 8]$, $f''(x) \gt 0$, por lo que la función es **convexa** (o cóncava hacia arriba). Como hay un cambio de curvatura en $x = 3$, existe un **punto de inflexión**. Calculamos su ordenada: $$f(3) = 3^3 - 9(3)^2 + 40(3) + 50 = 27 - 81 + 120 + 50 = 116$$ 💡 **Tip:** Un punto de inflexión requiere que $f''(x)=0$ y que haya un cambio real de signo en la segunda derivada a su izquierda y derecha. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Punto de inflexión en } (3, 116). \text{ Cóncava en } [0, 3) \text{ y Convexa en } (3, 8].}$$

**c.- (3 puntos) Calcule $\int_1^3 f(x) dx$.** Debemos calcular la integral de la función entre $x = 1$ y $x = 3$: $$I = \int_1^3 (x^3 - 9x^2 + 40x + 50) dx$$ Primero hallamos la primitiva $F(x)$ integrando término a término: $$F(x) = \frac{x^4}{4} - 9\frac{x^3}{3} + 40\frac{x^2}{2} + 50x = \frac{x^4}{4} - 3x^3 + 20x^2 + 50x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $I = F(3) - F(1)$. Calculamos $F(3)$: $$F(3) = \frac{3^4}{4} - 3(3^3) + 20(3^2) + 50(3) = \frac{81}{4} - 81 + 180 + 150 = 20.25 + 249 = 269.25$$ Calculamos $F(1)$: $$F(1) = \frac{1^4}{4} - 3(1^3) + 20(1^2) + 50(1) = 0.25 - 3 + 20 + 50 = 67.25$$ Restamos ambos valores: $$I = 269.25 - 67.25 = 202$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al aplicar Barrow, siempre es Valor Superior menos Valor Inferior: $F(b) - F(a)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int_1^3 f(x) dx = 202}$$