Obsolescencia tecnológica y decrecimiento

**a.- (3 puntos) Calcule el valor inicial del producto y su valor en un horizonte infinito de tiempo.** El valor inicial del producto se obtiene evaluando la función en el instante de compra, es decir, cuando $t = 0$: $$V(0) = 200 - \frac{100 \cdot 0}{10 + 2 \cdot 0} = 200 - \frac{0}{10} = 200 - 0 = 200 \text{ €}$$ Para calcular el valor en un horizonte infinito de tiempo, calculamos el límite de la función cuando $t$ tiende a $+\infty$: $$\lim_{t \to +\infty} V(t) = \lim_{t \to +\infty} \left( 200 - \frac{100t}{10 + 2t} \right) = 200 - \lim_{t \to +\infty} \frac{100t}{10 + 2t}$$ Como el grado del numerador y del denominador en la fracción es el mismo (grado 1), el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{100t}{2t + 10} = \frac{100}{2} = 50$$ Por tanto: $$V_{\infty} = 200 - 50 = 150 \text{ €}$$ 💡 **Tip:** El "horizonte infinito" es una forma de pedir la asíntota horizontal de la función por la derecha ($t \to +\infty$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Valor inicial: } 200 \text{ €} \quad \text{Valor en el infinito: } 150 \text{ €}}$$

**b.- (4 puntos) Calcule $V'(t)$ y justifique que $V(t)$ es decreciente. Utilice esta conclusión y los resultados obtenidos en a.- para argumentar que no será posible que el valor de $V(t)$ sea igual a 125 €.** Para calcular la derivada de $V(t) = 200 - \frac{100t}{10 + 2t}$, derivamos la constante (que es 0) y aplicamos la regla del cociente para la fracción: Regla del cociente: $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ $$V'(t) = 0 - \frac{100(10 + 2t) - (100t)(2)}{(10 + 2t)^2}$$ $$V'(t) = - \frac{1000 + 200t - 200t}{(10 + 2t)^2}$$ $$V'(t) = - \frac{1000}{(10 + 2t)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al derivar una resta, si el primer término es una constante, su derivada es cero. No olvides el signo negativo delante de la fracción. $$\boxed{V'(t) = - \frac{1000}{(10 + 2t)^2}}$$

Para justificar que $V(t)$ es decreciente, analizamos el signo de $V'(t)$ para $t \ge 0$: 1. El numerador es $1000$, que siempre es positivo. 2. El denominador es $(10 + 2t)^2$, que al estar elevado al cuadrado, siempre es positivo para cualquier $t$ en el dominio ($t \ge 0$). 3. Al tener un signo negativo delante de la fracción, el resultado de $V'(t)$ será **siempre negativo** para todo $t \ge 0$. $$\begin{array}{c|c} t & [0, +\infty) \\ \hline V'(t) & - \\ \text{Comportamiento} & \text{Decreciente} \end{array}$$ Dado que: - La función empieza en $V(0) = 200$ €. - La función es estrictamente decreciente. - La función tiene una asíntota horizontal en $V = 150$ €. Esto significa que el valor de $V(t)$ siempre estará comprendido entre 150 € y 200 € (sin llegar nunca a ser 150 €). Matemáticamente: $V(t) \in (150, 200]$. Por lo tanto, **es imposible que el valor sea 125 €**, ya que este valor está fuera del rango de la función. ✅ **Justificación:** $$\boxed{V'(t) \lt 0 \implies V(t) \text{ decrece. Como } \lim_{t \to \infty} V(t) = 150, V(t) \text{ nunca bajará de 150 €.}}$$

**c.- (3 puntos) ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que el dispositivo tenga un valor de 175 €?** Debemos resolver la ecuación $V(t) = 175$: $$200 - \frac{100t}{10 + 2t} = 175$$ Restamos 200 en ambos lados: $$- \frac{100t}{10 + 2t} = 175 - 200$$ $$- \frac{100t}{10 + 2t} = -25$$ Multiplicamos por $-1$ para simplificar signos y pasamos el denominador multiplicando: $$100t = 25(10 + 2t)$$ $$100t = 250 + 50t$$ Agrupamos los términos con $t$: $$100t - 50t = 250$$ $$50t = 250$$ $$t = \frac{250}{50} = 5 \text{ años}$$ 💡 **Tip:** Siempre verifica que el resultado tenga sentido en el contexto del problema. Como $V(t)$ decrece de 200 a 150, el valor 175 debe ocurrir en un tiempo $t > 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = 5 \text{ años}}$$