Distribución Binomial y Probabilidad Condicionada

Para resolver este problema, primero debemos identificar el modelo matemático que siguen los datos. Juan se enfrenta a $n = 4$ preguntas independientes (ensayos de Bernoulli). En cada una, solo hay dos posibilidades: responder correctamente (éxito) o no. La probabilidad de éxito es constante en cada pregunta, $p = 0,7$. Definimos la variable aleatoria: $X = \text{Número de preguntas contestadas correctamente por Juan}$ Esta variable sigue una **distribución binomial**: $X \sim B(n, p) = B(4, \, 0,7)$. La fórmula de la probabilidad binomial para obtener exactamente $k$ éxitos es: $$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ Donde: - $n = 4$ (número total de preguntas) - $p = 0,7$ (probabilidad de acierto) - $q = 1 - p = 0,3$ (probabilidad de fallo) - $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ es el número combinatorio. 💡 **Tip:** Identificar una distribución binomial es clave cuando tenemos un número fijo de intentos independientes con solo dos resultados posibles.

**a.- (3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan conteste correctamente todas las preguntas?** Nos piden calcular la probabilidad de que el número de aciertos sea exactamente 4, es decir, $P(X = 4)$. Aplicamos la fórmula con $k = 4$: $$P(X = 4) = \binom{4}{4} \cdot (0,7)^4 \cdot (0,3)^{4-4}$$ Calculamos cada parte: - $\binom{4}{4} = 1$ - $(0,7)^4 = 0,2401$ - $(0,3)^0 = 1$ Operamos: $$P(X = 4) = 1 \cdot 0,2401 \cdot 1 = 0,2401$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X = 4) = 0,2401}$$

**b.- (4 puntos) Juan aprobará el examen si contesta, al menos, 2 preguntas correctamente. ¿Cuál es la probabilidad que tiene Juan de aprobar el examen?** Que Juan apruebe significa que acierte 2, 3 o 4 preguntas. Matemáticamente esto es $P(X \ge 2)$. $$P(X \ge 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)$$ Calculamos cada probabilidad individualmente: 1. **Para $k = 2$:** $$P(X = 2) = \binom{4}{2} \cdot 0,7^2 \cdot 0,3^2 = 6 \cdot 0,49 \cdot 0,09 = 0,2646$$ 2. **Para $k = 3$:** $$P(X = 3) = \binom{4}{3} \cdot 0,7^3 \cdot 0,3^1 = 4 \cdot 0,343 \cdot 0,3 = 0,4116$$ 3. **Para $k = 4$:** $$P(X = 4) = 0,2401 \text{ (calculado en el apartado anterior)}$$ Sumamos los resultados: $$P(X \ge 2) = 0,2646 + 0,4116 + 0,2401 = 0,9163$$ 💡 **Tip:** También podrías calcularlo por el suceso contrario: $P(X \ge 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$. Suele ser más rápido si hay muchos sumandos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 2) = 0,9163}$$

**c.- (3 puntos) Si Juan ha aprobado el examen, ¿cuál es la probabilidad de que lo haya hecho contestando correctamente todas las preguntas?** Estamos ante una **probabilidad condicionada**. Sabemos que Juan ha aprobado (suceso $B: X \ge 2$) y queremos saber la probabilidad de que haya acertado las 4 preguntas (suceso $A: X = 4$). La fórmula de la probabilidad condicionada es: $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ En nuestro caso: $$P(X = 4 \, | \, X \ge 2) = \frac{P(X = 4 \cap X \ge 2)}{P(X \ge 2)}$$ Como el suceso "acertar 4" ya está incluido dentro de "acertar al menos 2", la intersección es simplemente $P(X = 4)$: $$P(X = 4 \cap X \ge 2) = P(X = 4) = 0,2401$$ Sustituimos los valores obtenidos en los apartados anteriores: $$P(X = 4 \, | \, X \ge 2) = \frac{0,2401}{0,9163} \approx 0,2620$$ 💡 **Tip:** En probabilidad condicionada, el denominador siempre es la probabilidad del suceso que sabemos que ya ha ocurrido (la condición). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X = 4 \, | \, X \ge 2) \approx 0,2620}$$