Inferencia de proporciones y probabilidad binomial

**a.- (5 puntos) Se ha realizado una encuesta sobre la intención de voto, para lo cual se ha tomado una muestra aleatoria simple de 200 votantes y 120 de ellos van a votar a Rupérez, mientras que el resto votarán a García. Calcule un intervalo de confianza a nivel 98% para la proporción de votantes de la ciudad que votarán a Rupérez.** Primero identificamos los valores necesarios para construir el intervalo de confianza de una proporción: - Tamaño de la muestra: $n = 200$ - Número de votos a Rupérez en la muestra: $x = 120$ - Proporción muestral ($\hat{p}$): Es el cociente entre los votos favorables y el total de la muestra. $$\hat{p} = \frac{120}{200} = 0,6$$ - Proporción complementaria ($\hat{q}$): Es la probabilidad de no votar a Rupérez en la muestra. $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0,6 = 0,4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en inferencia de proporciones, trabajamos con la proporción muestral $\hat{p}$ como estimador de la proporción poblacional $p$.

Para un nivel de confianza del $98\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,98$ 2. Nivel de significación: $\alpha = 1 - 0,98 = 0,02$ 3. Dividimos el error en dos colas: $\alpha/2 = 0,01$ 4. Buscamos el valor en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0,01 = 0,99$$ Consultando la tabla de la normal: El valor que más se aproxima a $0,99$ es **$z_{\alpha/2} = 2,33$** (ya que $P(Z \le 2,32) = 0,9898$ y $P(Z \le 2,33) = 0,9901$). 💡 **Tip:** El valor crítico marca los límites en una distribución normal estándar que encierran el área central correspondiente al nivel de confianza deseado.

La fórmula para el error máximo admisible en una proporción es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 2,33 \cdot \sqrt{\frac{0,6 \cdot 0,4}{200}} = 2,33 \cdot \sqrt{\frac{0,24}{200}} = 2,33 \cdot \sqrt{0,0012}$$ $$E \approx 2,33 \cdot 0,03464 = 0,0807$$ El intervalo de confianza se define como $IC = (\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: $$IC = (0,6 - 0,0807, \quad 0,6 + 0,0807)$$ $$IC = (0,5193, \quad 0,6807)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (0,5193; \, 0,6807)}$$

**b.- (2 puntos) El periódico de la ciudad afirma que Rupérez obtendrá un 75% de los votos. A la vista de los resultados del apartado a.-, ¿es razonable tal afirmación?** Para comprobar si la afirmación es razonable, debemos observar si el valor propuesto por el periódico ($75\%$ o $0,75$) se encuentra dentro del intervalo de confianza calculado anteriormente. - Intervalo calculado: $(0,5193; \, 0,6807)$ - Valor afirmado: $0,75$ Como $0,75 > 0,6807$, el valor **no pertenece al intervalo de confianza** al $98\%$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No es una afirmación razonable, ya que } 0,75 \text{ no está incluido en el intervalo de confianza calculado.}}$$

**c.- (3 puntos) Una vez realizada la votación, Rupérez ha ganado con el 62% de los votos. Si elegimos a 3 votantes con reemplazamiento, calcule la probabilidad de que al menos 1 de ellos haya votado por Rupérez.** Definimos la variable aleatoria $X$: "Número de votantes que han votado a Rupérez de entre 3 elegidos". Como los elegimos con reemplazamiento, los sucesos son independientes y se trata de una distribución binomial: $$X \sim B(n=3, p=0,62)$$ Nos piden la probabilidad de que **al menos 1** haya votado a Rupérez, es decir, $P(X \ge 1)$. Es mucho más sencillo calcularlo mediante el suceso contrario: $$P(X \ge 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X = 0)$$ Calculamos $P(X=0)$ usando la fórmula de la binomial: $$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ $$P(X=0) = \binom{3}{0} \cdot 0,62^0 \cdot (1 - 0,62)^3$$ $$P(X=0) = 1 \cdot 1 \cdot (0,38)^3 = 0,054872$$ Ahora calculamos la probabilidad final: $$P(X \ge 1) = 1 - 0,054872 = 0,945128$$ 💡 **Tip:** Siempre que te pidan "al menos uno", intenta resolverlo con $1 - P(\text{ninguno})$, ahorrarás mucho tiempo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 1) = 0,9451}$$ (Aproximando a cuatro decimales).