Sistema de ecuaciones: Presupuesto material deportivo

**A. [0,9 PUNTOS] Plantee el sistema de ecuaciones que permite calcular las unidades que deben comprarse de cada artículo si se pretende agotar el presupuesto disponible.** En primer lugar, definimos las variables que representan las cantidades desconocidas: - $x$: número de banderas. - $y$: número de camisetas. - $z$: número de gorras. A partir del enunciado, traducimos el lenguaje natural a lenguaje algebraico: 1. **Gasto total:** El presupuesto es de 500 €. Multiplicamos el precio unitario por la cantidad de cada artículo: $$5x + 6y + 2z = 500$$ 2. **Relación camisetas-gorras:** La cantidad de camisetas ($y$) es la mitad de las gorras ($z$): $$y = \frac{z}{2} \implies 2y - z = 0$$ 3. **Suma de banderas y camisetas:** La suma de $x$ e $y$ es 70: $$x + y = 70$$ 💡 **Tip:** Al plantear sistemas, asegúrate de que todas las variables representen las mismas unidades (en este caso, unidades físicas de material) y que los términos constantes estén al otro lado de la igualdad para facilitar el uso de matrices. El sistema planteado es: $$\boxed{\begin{cases} 5x + 6y + 2z = 500 \\ 2y - z = 0 \\ x + y = 70 \end{cases}}$$

**B. [0,8 PUNTOS] Analice la compatibilidad de dicho sistema.** Escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$: $$A = \begin{pmatrix} 5 & 6 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 5 & 6 & 2 & 500 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 70 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 5 & 6 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (5 \cdot 2 \cdot 0) + (6 \cdot (-1) \cdot 1) + (2 \cdot 0 \cdot 1) - [ (2 \cdot 2 \cdot 1) + (6 \cdot 0 \cdot 0) + (5 \cdot (-1) \cdot 1) ]$$ $$|A| = 0 - 6 + 0 - [ 4 + 0 - 5 ] = -6 - (-1) = -5$$ Como $|A| = -5 \neq 0$, el rango de la matriz $A$ es 3. Al ser una matriz de $3 \times 3$, el rango de la matriz ampliada $A^*$ también es necesariamente 3. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**: - $\text{rango}(A) = 3$ - $\text{rango}(A^*) = 3$ - Número de incógnitas = 3 💡 **Tip:** Si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema siempre será Compatible Determinado (solución única). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El sistema es Compatible Determinado (SCD), tiene una solución única.}}$$

**C. [0,8 PUNTOS] Resuélvalo.** Utilizaremos la Regla de Cramer, ya que conocemos $|A| = -5$. Calculamos el determinante asociado a $x$ ($|A_x|$): $$|A_x| = \begin{vmatrix} 500 & 6 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 70 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 + (-420) + 0 - [ 280 + (-500) + 0 ] = -420 - (-220) = -200$$ $$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{-200}{-5} = 40$$ Calculamos el determinante asociado a $y$ ($|A_y|$): $$|A_y| = \begin{vmatrix} 5 & 500 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 70 & 0 \end{vmatrix} = 0 + (-500) + 0 - [ 0 + (-350) + 0 ] = -500 + 350 = -150$$ $$y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{-150}{-5} = 30$$ Calculamos el determinante asociado a $z$ ($|A_z|$): $$|A_z| = \begin{vmatrix} 5 & 6 & 500 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 70 \end{vmatrix} = 700 + 0 + 0 - [ 1000 + 0 + 0 ] = 700 - 1000 = -300$$ $$z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{-300}{-5} = 60$$ 💡 **Tip:** Siempre conviene verificar el resultado sustituyendo en las ecuaciones originales. $40+30=70$ y $30=60/2$, lo cual coincide con el enunciado. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 40 \text{ banderas, } y = 30 \text{ camisetas, } z = 60 \text{ gorras}}$$