Optimización de producción de menús de catering

**A. [0,75 PUNTOS] Plantee la función objetivo para maximizar el beneficio y el conjunto de restricciones que describen el problema.** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de menús tipo Estándar (A). - $y$: número de menús tipo Gourmet (B). La función objetivo representa el beneficio total que queremos maximizar. Como cada menú A deja $50\,€$ y cada menú B deja $70\,€$, la función es: $$f(x, y) = 50x + 70y$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la función objetivo siempre suele ser una expresión del tipo $f(x,y) = ax + by$ donde $a$ y $b$ son los beneficios o costes unitarios.

A partir del enunciado, extraemos las condiciones del problema en forma de inecuaciones: 1. **Producción mínima:** Quieren preparar al menos 15 menús: $$x + y \ge 15$$ 2. **Relación entre menús:** El número de menús A no debe superar la mitad de los B ($x \le \frac{y}{2}$), lo que reordenamos como: $$2x \le y \implies 2x - y \le 0$$ 3. **Plazo máximo (tiempo):** El tiempo total no debe superar las 96 horas ($2$ horas por cada A y $3$ por cada B): $$2x + 3y \le 96$$ 4. **No negatividad:** No se pueden preparar menús negativos: $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ El sistema de restricciones es: $$\boxed{\begin{cases} x + y \ge 15 \\ 2x - y \le 0 \\ 2x + 3y \le 96 \\ x \ge 0, \, y \ge 0 \end{cases}}$$

**B. [1 PUNTO] Dibuje la región factible en el plano, calculando sus vértices.** Para hallar los vértices, calculamos los puntos de corte entre las rectas que limitan las restricciones: - **Vértice A ($L_1 \cap L_2$):** Intersección de $x + y = 15$ y $2x - y = 0$. Sumando ambas: $3x = 15 \implies x = 5$. Sustituyendo: $5 + y = 15 \implies y = 10$. $\mathbf{A(5, 10)}$ - **Vértice B ($L_2 \cap L_3$):** Intersección de $2x - y = 0$ (o $y = 2x$) y $2x + 3y = 96$. Sustituyendo $y$: $2x + 3(2x) = 96 \implies 8x = 96 \implies x = 12$. Sustituyendo $x$: $y = 2(12) = 24$. $\mathbf{B(12, 24)}$ - **Vértice C ($L_3 \cap$ eje $Y$):** Intersección de $2x + 3y = 96$ y $x = 0$. $3y = 96 \implies y = 32$. $\mathbf{C(0, 32)}$ - **Vértice D ($L_1 \cap$ eje $Y$):** Intersección de $x + y = 15$ y $x = 0$. $y = 15$. $\mathbf{D(0, 15)}$ 💡 **Tip:** Para representar las rectas, es útil buscar los puntos de corte con los ejes asignando el valor $0$ a una de las variables.

Representamos la región factible sombreando el área común a todas las desigualdades. Los vértices calculados delimitan este recinto cerrado.

**C. [0,5 PUNTOS] ¿Cuántos menús de cada tipo debe preparar la empresa para maximizar sus beneficios?** Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 50x + 70y$ en cada uno de los vértices de la región factible: - $f(5, 10) = 50(5) + 70(10) = 250 + 700 = 950\,€$ - $f(12, 24) = 50(12) + 70(24) = 600 + 1680 = 2280\,€$ - $f(0, 32) = 50(0) + 70(32) = 0 + 2240 = 2240\,€$ - $f(0, 15) = 50(0) + 70(15) = 0 + 1050 = 1050\,€$ Comparando los resultados, el valor máximo es **$2280\,€$**. Para maximizar los beneficios, se deben preparar **12 menús tipo Estándar (A)** y **24 menús tipo Gourmet (B)**. $$\boxed{x = 12, \, y = 24}$$ 💡 **Tip:** El teorema fundamental de la programación lineal nos asegura que, si existe solución óptima, esta se encontrará en uno de los vértices o en un lado de la región factible.

**D. [0,25 PUNTOS] ¿A cuánto asciende dicho beneficio?** Como hemos calculado en el paso anterior al evaluar el vértice óptico $B(12, 24)$: Beneficio $= 50(12) + 70(24) = 2280\,€$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{2280\text{ euros}}$$