Estudio de función cúbica: puntos de corte, monotonía y áreas

**A. [0,5 PUNTOS] Obtenga los puntos de corte con los ejes OX y OY.** Para hallar los puntos de corte, analizamos la función $f(x) = x^3 - 3x + 2$ en cada eje: 1. **Corte con el eje OY (ordenada en el origen):** Hacemos $x = 0$: $$f(0) = 0^3 - 3(0) + 2 = 2.$$ El punto de corte es **$(0, 2)$**. 2. **Corte con el eje OX (abscisas):** Hacemos $f(x) = 0$: $$x^3 - 3x + 2 = 0.$$ Probamos raíces enteras usando la regla de Ruffini. Observamos que para $x=1$: $1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$. Por tanto, $(x-1)$ es un factor. Dividiendo el polinomio por $(x-1)$ obtenemos: $$(x-1)(x^2 + x - 2) = 0.$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado $x^2 + x - 2 = 0$: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \implies x_1 = 1, \, x_2 = -2.$$ Las raíces son $x = 1$ (doble) y $x = -2$. Los puntos de corte son **$(1, 0)$ y $(-2, 0)$**. 💡 **Tip:** Recuerda que los puntos de corte con OX se obtienen igualando la función a cero, mientras que con OY se calcula el valor de la función en cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Eje OY: } (0, 2); \quad \text{Eje OX: } (1, 0) \text{ y } (-2, 0)}$$

**B. [1 PUNTO] Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento.** Para estudiar la monotonía, calculamos primero la derivada de la función: $$f'(x) = 3x^2 - 3.$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$3x^2 - 3 = 0 \implies 3x^2 = 3 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1.$$ Estos puntos dividen la recta real en tres intervalos: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ y $(1, +\infty)$.

Analizamos el signo de $f'(x)$ en cada intervalo mediante una tabla de valores: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,1) & 1 & (1,+\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\ \text{Monotonía} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array} $$ - En $(-\infty, -1)$: elegimos $x=-2$, $f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 9 > 0$ (**creciente**). - En $(-1, 1)$: elegimos $x=0$, $f'(0) = -3 < 0$ (**decreciente**). - En $(1, +\infty)$: elegimos $x=2$, $f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 9 > 0$ (**creciente**). 💡 **Tip:** Una función crece donde su derivada es positiva y decrece donde su derivada es negativa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Crecimiento: } (-\infty, -1) \cup (1, +\infty); \quad \text{Decrecimiento: } (-1, 1)}$$

**C. [1 PUNTO] Dibuje la región delimitada por la curva $y = f(x)$ y la recta $y = x+2$. Calcule el área de esta región.** Primero hallamos los puntos donde se cruzan la curva y la recta igualando sus ecuaciones: $$x^3 - 3x + 2 = x + 2$$ $$x^3 - 4x = 0$$ Factorizamos sacando factor común $x$: $$x(x^2 - 4) = 0 \implies x(x - 2)(x + 2) = 0.$$ Los puntos de corte son $x = -2$, $x = 0$ y $x = 2$. Esto define dos recintos de integración: 1. Recinto 1: entre $x = -2$ y $x = 0$. 2. Recinto 2: entre $x = 0$ y $x = 2$. Para saber qué función está por encima, evaluamos un punto en cada intervalo: - En $x = -1$: $f(-1) = 4$ y $y(-1) = 1$. La curva está por encima. - En $x = 1$: $f(1) = 0$ y $y(1) = 3$. La recta está por encima.

El área total es la suma de las áreas de ambos recintos: $$A = \int_{-2}^{0} (f(x) - g(x)) \, dx + \int_{0}^{2} (g(x) - f(x)) \, dx$$ $$A = \int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) \, dx + \int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx$$ Calculamos la primera integral aplicando la Regla de Barrow: $$I_1 = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{-2}^{0} = (0) - \left( \frac{(-2)^4}{4} - 2(-2)^2 \right) = 0 - (4 - 8) = 4 \text{ u}^2.$$ Calculamos la segunda integral: $$I_2 = \left[ 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = \left( 2(2)^2 - \frac{2^4}{4} \right) - (0) = (8 - 4) = 4 \text{ u}^2.$$ El área total es $A = 4 + 4 = 8 \text{ u}^2$. 💡 **Tip:** Si el área te sale negativa es porque has restado las funciones en el orden inverso; el área siempre debe expresarse en valor absoluto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área } = 8 \text{ u}^2}$$