Estudio de discontinuidades, asíntotas y representación gráfica

**A. [0,75 PUNTOS] ¿En qué puntos es discontinua $f(x)$? ¿De qué tipo de discontinuidad se trata en cada caso?** Las funciones racionales son continuas en todo su dominio. El dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Resolvemos $x^2 - 1 = 0$: $$x^2 = 1 \implies x = \pm \sqrt{1} \implies x = 1, \quad x = -1$$ Por tanto, el dominio es $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$. La función es discontinua en **$x = 1$** y en **$x = -1$**. 💡 **Tip:** Para hallar el dominio de una función racional, iguala el denominador a cero. Los puntos obtenidos son los candidatos a discontinuidades.

Para clasificar la discontinuidad en $x = 1$, calculamos el límite de la función en ese punto: $$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 1}$$ Sustituimos $x = 1$: $$\frac{1^2 - 2(1) - 3}{1^2 - 1} = \frac{1 - 2 - 3}{0} = \frac{-4}{0} = \pm\infty$$ Como el límite es infinito, se trata de una **discontinuidad inevitable de salto infinito**. $$\boxed{x = 1: \text{Discontinuidad inevitable de salto infinito}}$$

Calculamos el límite en $x = -1$: $$\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 1}$$ Sustituimos $x = -1$: $$\frac{(-1)^2 - 2(-1) - 3}{(-1)^2 - 1} = \frac{1 + 2 - 3}{1 - 1} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo $0/0$. Vamos a resolverla factorizando el numerador y el denominador. Sabemos que $(x+1)$ es un factor común: $$x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$$ $$x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$$ Calculamos el límite de nuevo simplificando el factor común: $$\lim_{x \to -1} \frac{(x+1)(x-3)}{(x+1)(x-1)} = \lim_{x \to -1} \frac{x-3}{x-1} = \frac{-1-3}{-1-1} = \frac{-4}{-2} = 2$$ Al ser el límite un valor finito, la discontinuidad en $x = -1$ es de tipo evitable. 💡 **Tip:** Si al calcular el límite en un punto que anula el denominador obtienes un número real, la discontinuidad es **evitable**. Si obtienes $\pm\infty$, es de **salto infinito**. $$\boxed{x = -1: \text{Discontinuidad evitable}}$$

**B. [1,25 PUNTOS] Identifique las asíntotas de la función.** **1. Asíntotas Verticales (A.V.):** Basándonos en el estudio previo, existe una asíntota vertical donde el límite es infinito. $$\text{En } x = 1: \lim_{x \to 1} f(x) = \infty \implies \boxed{x = 1}$$ (En $x = -1$ no hay A.V. porque el límite es finito). **2. Asíntotas Horizontales (A.H.):** Calculamos el límite cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 1} = 1$$ Dado que los grados del numerador y denominador son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado ($1/1$). $$\text{Hay una asíntota horizontal en } \boxed{y = 1}$$ **3. Asíntotas Oblicuas (A.O.):** Como existe asíntota horizontal cuando $x \to \pm\infty$, no puede haber asíntota oblicua. 💡 **Tip:** Recuerda que si el grado del numerador es igual al grado del denominador, la asíntota horizontal es $y = \frac{a_n}{b_n}$.

**C. [0,5 PUNTOS] Esboce la gráfica de $f(x)$, indicando únicamente los puntos de discontinuidad, las asíntotas y los cortes con los ejes OX y OY.** Antes de esbozar, calculamos los puntos de corte: **Corte con el eje OY (hacemos $x = 0$):** $$f(0) = \frac{0^2 - 2(0) - 3}{0^2 - 1} = \frac{-3}{-1} = 3 \implies \boxed{(0, 3)}$$ **Corte con el eje OX (hacemos $f(x) = 0$):** $$\frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 1} = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x+1)(x-3) = 0$$ Obtenemos $x = -1$ y $x = 3$. Sin embargo, $x = -1$ no pertenece al dominio, por lo que el único punto de corte real es: $$\boxed{(3, 0)}$$ 💡 **Tip:** Ten cuidado con los puntos que anulan el numerador pero no están en el dominio; no pueden ser puntos de corte.

Para el esbozo, representamos: 1. Las asíntotas $x = 1$ y $y = 1$. 2. Los puntos de corte $(0, 3)$ y $(3, 0)$. 3. El "punto vacío" en $(-1, 2)$ debido a la discontinuidad evitable.