Intervalo de confianza y tamaño muestral para la media

**A. [1,25 PUNTOS] Obtenga el intervalo de confianza del 95 % para el valor promedio del porcentaje de cafeína por lata.** En primer lugar, identificamos los parámetros de la población y de la muestra que nos proporciona el enunciado: - La variable $X$ (porcentaje de cafeína) sigue una distribución normal: $X \sim N(\mu, \sigma)$. - Desviación típica poblacional: $\sigma = 0,45\%$. - Tamaño de la muestra: $n = 120$. - Media muestral: $\bar{x} = 8,75\%$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,95$ (lo que implica un $95\%$). 💡 **Tip:** En los problemas de estimación de la media con $\sigma$ conocida, el intervalo de confianza tiene la forma: $CI = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$, donde $E$ es el error máximo admisible.

Para un nivel de confianza del $95\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0,95 \implies \alpha = 0,05$. 2. $\alpha/2 = 0,025$. 3. Buscamos el valor en la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ tal que: $$p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0,025 = 0,9750.$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal, el valor que corresponde a una probabilidad de $0,9750$ es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1,96}$$

Calculamos el error máximo admisible $E$ mediante la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 1,96 \cdot \frac{0,45}{\sqrt{120}} = 1,96 \cdot \frac{0,45}{10,9545} \approx 1,96 \cdot 0,041079 \approx 0,0805.$$ Ahora construimos el intervalo $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: - Límite inferior: $8,75 - 0,0805 = 8,6695$. - Límite superior: $8,75 + 0,0805 = 8,8305$. ✅ **Resultado del apartado A:** $$\boxed{CI = (8,6695, \, 8,8305)}$$

**B. [1,25 PUNTOS] ¿Cuál es el número mínimo de latas que habría que considerar para que el error cometido al estimar el valor medio del porcentaje de cafeína por lata, con un nivel de confianza del 97 %, fuese de 0,1 %?** Para este apartado, cambian las condiciones: - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,97 \implies \alpha = 0,03$. - Error máximo: $E = 0,1\%$. - Desviación típica: $\sigma = 0,45\%$. Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: $$p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{0,03}{2} = 1 - 0,015 = 0,9850.$$ Buscando en la tabla de la Normal, para una probabilidad de $0,9850$, obtenemos: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2,17}$$ 💡 **Tip:** Si el valor de probabilidad no aparece exacto en la tabla, se toma el más cercano o se realiza una interpolación. En este caso, $0,9850$ aparece exactamente para $2,17$.

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2.$$ Sustituimos los datos: $$n = \left( \frac{2,17 \cdot 0,45}{0,1} \right)^2 = (2,17 \cdot 4,5)^2 = (9,765)^2 = 95,355.$$ Como el número de latas debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** del $0,1\%$, debemos redondear siempre al entero superior para garantizar que el error sea menor o igual al pedido. ✅ **Resultado del apartado B:** $$\boxed{n = 96 \text{ latas}}$$