Sistema de ecuaciones: Proveedores de tierra y semillas

**A. [0,9 PUNTOS] Plantee el sistema de ecuaciones que permite calcular el precio por kilogramo de la tierra, las piedras decorativas y las semillas en el proveedor A.** Primero, definimos las incógnitas referidas al proveedor A: - $x$: Precio por kg de tierra (€/kg). - $y$: Precio por kg de piedras decorativas (€/kg). - $z$: Precio por kg de semillas (€/kg). Traducimos la información del enunciado a ecuaciones: 1. **Oferta del proveedor A:** Compra 300 kg de tierra, 200 kg de piedras y 100 kg de semillas por un total de 13000 €. $$300x + 200y + 100z = 13000$$ Simplificando (dividiendo entre 100): $$3x + 2y + z = 130$$ 2. **Oferta del proveedor B:** El precio de la tierra es $\frac{x}{3}$, el de las piedras $\frac{y}{2}$ y el de las semillas $\frac{z}{5}$. El ahorro es de 8800 €, por lo que el precio total es $13000 - 8800 = 4200$ €. $$300\left(\frac{x}{3}\right) + 200\left(\frac{y}{2}\right) + 100\left(\frac{z}{5}\right) = 4200$$ $$100x + 100y + 20z = 4200$$ Simplificando (dividiendo entre 20): $$5x + 5y + z = 210$$ 3. **Relación de precios en A:** El precio de las semillas ($z$) es el doble de la suma de los otros dos ($x+y$): $$z = 2(x + y) \implies 2x + 2y - z = 0$$ 💡 **Tip:** Simplificar las ecuaciones antes de operar facilita enormemente los cálculos posteriores y reduce la probabilidad de error. ✅ **Resultado (Sistema planteado):** $$\boxed{\begin{cases} 3x + 2y + z = 130 \\ 5x + 5y + z = 210 \\ 2x + 2y - z = 0 \end{cases}}$$

**B. [0,8 PUNTOS] Analice la compatibilidad de dicho sistema.** Escribimos la matriz de coeficientes ($M$) y la matriz ampliada ($M^*$): $$M = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 5 & 5 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix}; \quad M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 & 130 \\ 5 & 5 & 1 & 210 \\ 2 & 2 & -1 & 0 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $M$ por la regla de Sarrus: $$|M| = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 5 & 5 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \end{vmatrix} = [3 \cdot 5 \cdot (-1) + 5 \cdot 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 \cdot 1] - [1 \cdot 5 \cdot 2 + 1 \cdot 2 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 \cdot 5]$$ $$|M| = [-15 + 10 + 4] - [10 + 6 - 10] = -1 - 6 = -7$$ Como $|M| = -7 \neq 0$, el rango de la matriz de coeficientes es $\text{rg}(M) = 3$. Dado que el número de incógnitas es $n = 3$, y el rango de la ampliada no puede ser mayor que 3 ni menor que el de $M$, se cumple: $$\text{rg}(M) = \text{rg}(M^*) = 3 = n$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado**, lo que significa que tiene una **solución única**. 💡 **Tip:** Si el determinante de la matriz principal es distinto de cero, el sistema siempre será Compatible Determinado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sistema Compatible Determinado (SCD)}}$$

**C. [0,8 PUNTOS] Resuélvalo.** Utilizaremos la regla de Cramer para hallar el valor de cada incógnita, usando el determinante $|M| = -7$ calculado anteriormente. Calculamos $\Delta_x$ (sustituyendo la 1ª columna por los términos independientes): $$\Delta_x = \begin{vmatrix} 130 & 2 & 1 \\ 210 & 5 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \end{vmatrix} = [130 \cdot 5 \cdot (-1) + 210 \cdot 2 \cdot 1 + 0] - [0 + 130 \cdot 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 210 \cdot 2]$$ $$\Delta_x = [-650 + 420] - [260 - 420] = -230 - (-160) = -70 \implies x = \frac{-70}{-7} = 10$$ Calculamos $\Delta_y$ (sustituyendo la 2ª columna): $$\Delta_y = \begin{vmatrix} 3 & 130 & 1 \\ 5 & 210 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix} = [3 \cdot 210 \cdot (-1) + 5 \cdot 0 + 2 \cdot 130 \cdot 1] - [1 \cdot 210 \cdot 2 + 0 + (-1) \cdot 130 \cdot 5]$$ $$\Delta_y = [-630 + 260] - [420 - 650] = -370 - (-230) = -140 \implies y = \frac{-140}{-7} = 20$$ Calculamos $\Delta_z$ (sustituyendo la 3ª columna): $$\Delta_z = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 130 \\ 5 & 5 & 210 \\ 2 & 2 & 0 \end{vmatrix} = [0 + 5 \cdot 2 \cdot 130 + 2 \cdot 2 \cdot 210] - [130 \cdot 5 \cdot 2 + 210 \cdot 2 \cdot 3 + 0]$$ $$\Delta_z = [1300 + 840] - [1300 + 1260] = 2140 - 2560 = -420 \implies z = \frac{-420}{-7} = 60$$ Comprobamos en la tercera ecuación: $2(10) + 2(20) - 60 = 20 + 40 - 60 = 0$. ¡Correcto! 💡 **Tip:** Recuerda indicar siempre las unidades en la respuesta final de un problema de contexto. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Tierra: } 10 \text{ €/kg}, \text{ Piedras: } 20 \text{ €/kg}, \text{ Semillas: } 60 \text{ €/kg}}$$