Álgebra 2024 Cantabria
Programación Lineal: Producción de libros EcoReads
Ejercicio 2 [2,5 PUNTOS]
La editorial "EcoReads", comprometida con la sostenibilidad ambiental, planea lanzar dos colecciones de libros: una de guías prácticas sobre sostenibilidad y una colección de libros de cocina vegetariana. Cada guía práctica genera un beneficio de 5 € y cada libro de cocina vegetariana aporta un beneficio de 4 €. Para la producción de estos libros, la editorial emplea dos tipos de papel ecológico: papel reciclado de alta calidad y papel de fibras de bambú. La impresión de una guía requiere 60 g de papel reciclado y 20 g de papel de bambú, mientras que cada libro de cocina vegetariana necesita 70 g de papel reciclado y 10 g de papel de bambú. La editorial tiene a su disposición 4000 g de papel reciclado y 800 g de papel de bambú para su próxima producción. Además, para garantizar una diversificación del catálogo, la editorial decide que se deben publicar al menos 10 libros de cocina vegetariana.
A. [0,75 PUNTOS] Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema.
B. [1 PUNTO] Dibuje la región factible en el plano, calculando sus vértices.
C. [0,5 PUNTOS] ¿Cuántos ejemplares de cada colección debería publicar la editorial para maximizar sus beneficios?
D. [0,25 PUNTOS] ¿A cuánto asciende dicho beneficio?
Paso 1
Definición de variables y planteamiento del problema
**A. [0,75 PUNTOS] Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema.**
Primero, definimos las variables de decisión del problema:
- $x$: número de guías prácticas sobre sostenibilidad a producir.
- $y$: número de libros de cocina vegetariana a producir.
**Función objetivo:**
Queremos maximizar el beneficio total ($B$). Según el enunciado, cada guía aporta 5 € y cada libro de cocina 4 €:
$$B(x, y) = 5x + 4y$$
**Restricciones:**
1. **Papel reciclado:** Se usan 60 g por guía y 70 g por libro de cocina, con un máximo de 4000 g.
$$60x + 70y \le 4000 \implies 6x + 7y \le 400$$
2. **Papel de bambú:** Se usan 20 g por guía y 10 g por libro de cocina, con un máximo de 800 g.
$$20x + 10y \le 800 \implies 2x + y \le 80$$
3. **Diversificación (Producción mínima):** Al menos 10 libros de cocina.
$$y \ge 10$$
4. **No negatividad:** No se pueden producir cantidades negativas.
$$x \ge 0, \quad y \ge 0$$
💡 **Tip:** Simplificar las ecuaciones (dividiendo por 10 en este caso) facilita mucho los cálculos posteriores de los vértices.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\begin{aligned} \text{Maximizar } & B(x, y) = 5x + 4y \\ \text{Sujeto a: } & 6x + 7y \le 400 \\ & 2x + y \le 80 \\ & y \ge 10 \\ & x \ge 0 \end{aligned}}$$
Paso 2
Cálculo de los vértices de la región factible
**B. [1 PUNTO] Dibuje la región factible en el plano, calculando sus vértices.**
Para dibujar la región factible, primero representamos las rectas asociadas a las restricciones:
- $r_1: 6x + 7y = 400$
- $r_2: 2x + y = 80$
- $r_3: y = 10$
- $r_4: x = 0$
Calculamos los puntos de intersección (**vértices**) que delimitan la zona común:
1. **Intersección de $r_1$ y $r_2$:**
$$\begin{cases} 6x + 7y = 400 \\ 2x + y = 80 \implies y = 80 - 2x \end{cases}$$
Sustituyendo:
$6x + 7(80 - 2x) = 400 \implies 6x + 560 - 14x = 400 \implies -8x = -160 \implies x = 20$
$y = 80 - 2(20) = 40$
Punto **$A(20, 40)$**.
2. **Intersección de $r_2$ y $r_3$ ($y=10$):**
$2x + 10 = 80 \implies 2x = 70 \implies x = 35$
Punto **$B(35, 10)$**.
3. **Intersección de $r_3$ ($y=10$) y $r_4$ ($x=0$):**
Punto **$C(0, 10)$**.
4. **Intersección de $r_1$ y $r_4$ ($x=0$):**
$6(0) + 7y = 400 \implies y = 400/7 \approx 57,14$
Punto **$D(0, 57,14)$**.
💡 **Tip:** Recuerda comprobar si los puntos cumplen todas las restricciones. Por ejemplo, en $D(0, 57,14)$, verificamos si cumple $r_2$: $2(0) + 57,14 \le 80$, lo cual es cierto.
✅ **Vértices:**
$$\boxed{A(20, 40), \, B(35, 10), \, C(0, 10), \, D(0, 400/7)}$$
Paso 3
Maximización del beneficio
**C. [0,5 PUNTOS] ¿Cuántos ejemplares de cada colección debería publicar la editorial para maximizar sus beneficios?**
Evaluamos la función objetivo $B(x, y) = 5x + 4y$ en cada uno de los vértices de la región factible calculados anteriormente:
- Para **$A(20, 40)$**:
$B(20, 40) = 5(20) + 4(40) = 100 + 160 = 260$ €.
- Para **$B(35, 10)$**:
$B(35, 10) = 5(35) + 4(10) = 175 + 40 = 215$ €.
- Para **$C(0, 10)$**:
$B(0, 10) = 5(0) + 4(10) = 40$ €.
- Para **$D(0, 400/7) \approx (0; 57,14)$**:
$B(0, 400/7) = 5(0) + 4(400/7) = 1600/7 \approx 228,57$ €.
Comparando los valores, el beneficio máximo es de **260 €**.
💡 **Tip:** En problemas de programación lineal, si la región factible es cerrada y acotada, el máximo siempre se encontrará en uno de los vértices (o en un segmento entre ellos).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Debe publicar 20 guías de sostenibilidad y 40 libros de cocina vegetariana.}}$$
Paso 4
Cálculo del beneficio máximo
**D. [0,25 PUNTOS] ¿A cuánto asciende dicho beneficio?**
Como se ha calculado en el paso anterior al evaluar el vértice óptimo $A(20, 40)$:
$$B(20, 40) = 5 \cdot 20 + 4 \cdot 40 = 100 + 160 = 260 \text{ €}$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{El beneficio asciende a 260 €}}$$