Continuidad con parámetros e integral definida

**A. [1,5 PUNTOS] Determine los valores de los parámetros a y b para los cuales la función es continua en todo su dominio.** Una función definida a trozos es continua en todo su dominio si lo es en cada uno de sus intervalos y en los puntos de salto. Las funciones $ax+2$ y $x^2-3x+5$ son polinómicas, y $\frac{x-b}{x^2+1}$ es racional (con denominador siempre positivo), por lo que solo debemos asegurar la continuidad en $x = -1$ y $x = 3$. Para que sea continua en $x = -1$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1. $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (ax + 2) = a(-1) + 2 = -a + 2$ 2. $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} (x^2 - 3x + 5) = (-1)^2 - 3(-1) + 5 = 1 + 3 + 5 = 9$ 3. $f(-1) = -a + 2$ Igualamos para que exista el límite: $$-a + 2 = 9 \implies -a = 7 \implies a = -7$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea continua en $x=c$, se debe cumplir $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$.

Para que sea continua en $x = 3$, procedemos de la misma forma: 1. $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (x^2 - 3x + 5) = 3^2 - 3(3) + 5 = 9 - 9 + 5 = 5$ 2. $\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} \frac{x - b}{x^2 + 1} = \frac{3 - b}{3^2 + 1} = \frac{3 - b}{10}$ 3. $f(3) = 5$ Igualamos los límites: $$5 = \frac{3 - b}{10}$$ $$50 = 3 - b \implies b = 3 - 50 \implies b = -47$$ ✅ **Resultado (parámetros):** $$\boxed{a = -7, \quad b = -47}$$ 💡 **Tip:** En las funciones a trozos, los puntos críticos son aquellos donde la definición de la función cambia.

**B. [1 PUNTO] Calcule la integral definida $I = \int_{0}^{2} f(x) dx$** Primero debemos identificar qué tramo de la función $f(x)$ corresponde al intervalo de integración $[0, 2]$. Observando la definición de la función: - Si $-1 \lt x \le 3$, entonces $f(x) = x^2 - 3x + 5$. Como el intervalo $[0, 2]$ está contenido íntegramente dentro de $(-1, 3]$, utilizaremos esa rama de la función: $$I = \int_{0}^{2} (x^2 - 3x + 5) dx$$ 💡 **Tip:** Antes de integrar una función a trozos, comprueba si el intervalo de integración cruza algún punto de salto. Si lo hiciera, tendrías que dividir la integral en varias partes.

Calculamos la primitiva de la función polinómica: $$\int (x^2 - 3x + 5) dx = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 5x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** en los límites 0 y 2: $$I = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 5x \right]_{0}^{2}$$ Sustituimos el límite superior ($x=2$): $$F(2) = \frac{2^3}{3} - \frac{3(2^2)}{2} + 5(2) = \frac{8}{3} - \frac{12}{2} + 10 = \frac{8}{3} - 6 + 10 = \frac{8}{3} + 4$$ $$F(2) = \frac{8 + 12}{3} = \frac{20}{3}$$ Sustituimos el límite inferior ($x=0$): $$F(0) = \frac{0^3}{3} - \frac{3(0^2)}{2} + 5(0) = 0$$ Finalmente: $$I = F(2) - F(0) = \frac{20}{3} - 0 = \frac{20}{3}$$ ✅ **Resultado (integral):** $$\boxed{I = \frac{20}{3} \approx 6,67}$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow dice que $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es una primitiva de $f$.