Estudio de función racional: cortes, asíntotas y monotonía

**A. [0,25 PUNTOS] Obtenga los puntos de corte con los ejes OX y OY.** Para hallar los puntos de corte, analizamos la intersección de la función con cada eje cartesiano: 1. **Corte con el eje OY (cuando $x=0$):** Evaluamos la función en $x = 0$: $$f(0) = \frac{2(0)^2 + 4(0) + 2}{0 - 2} = \frac{2}{-2} = -1$$ El punto de corte es **$(0, -1)$**. 2. **Corte con el eje OX (cuando $f(x)=0$):** Igualamos el numerador a cero (ya que una fracción es cero si su numerador lo es): $$2x^2 + 4x + 2 = 0$$ Dividimos toda la ecuación entre 2 para simplificar: $$x^2 + 2x + 1 = 0$$ Esta es una identidad notable: $(x + 1)^2 = 0$, lo que nos da una raíz única: $$x = -1$$ El punto de corte es **$(-1, 0)$**. 💡 **Tip:** Los puntos de corte con el eje OX se obtienen haciendo $y=0$, mientras que el corte con el eje OY se obtiene haciendo $x=0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Corte OY: } (0, -1); \quad \text{Corte OX: } (-1, 0)}$$

**B. [1 PUNTO] Identifique las asíntotas de la función.** Primero analizamos el **dominio**. La función no está definida donde el denominador es cero: $$x - 2 = 0 \implies x = 2$$ Dominio: $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{2\}$. **Asíntota Vertical (AV):** Calculamos el límite en el punto de discontinuidad: $$\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 + 4x + 2}{x - 2} = \frac{18}{0} = \infty$$ Como el límite es infinito, existe una asíntota vertical en **$x = 2$**. 💡 **Tip:** Si el límite de la función en un punto $a$ es infinito, entonces $x=a$ es una asíntota vertical.

**Asíntota Horizontal (AH):** Calculamos el límite al infinito: $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x^2 + 4x + 2}{x - 2} = \infty$$ Al ser el grado del numerador (2) mayor que el del denominador (1), **no existe asíntota horizontal**. **Asíntota Oblicua (AO):** Al no haber AH y ser el grado del numerador exactamente uno más que el del denominador, buscamos una recta del tipo $y = mx + n$. 1. Calculamos la pendiente $m$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 4x + 2}{x^2 - 2x} = 2$$ 2. Calculamos la ordenada en el origen $n$: $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x^2 + 4x + 2}{x - 2} - 2x \right)$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 4x + 2 - 2x(x - 2)}{x - 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 4x + 2 - 2x^2 + 4x}{x - 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{8x + 2}{x - 2} = 8$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{AV: } x = 2; \quad \text{AH: No hay}; \quad \text{AO: } y = 2x + 8}$$

**C. [1,25 PUNTOS] Obtenga los intervalos de crecimiento y decrecimiento.** Para estudiar la monotonía, calculamos la derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(4x + 4)(x - 2) - (2x^2 + 4x + 2)(1)}{(x - 2)^2}$$ Desarrollamos el numerador: $$f'(x) = \frac{4x^2 - 8x + 4x - 8 - 2x^2 - 4x - 2}{(x - 2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2x^2 - 8x - 10}{(x - 2)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$2x^2 - 8x - 10 = 0 \implies x^2 - 4x - 5 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-5)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}$$ Obtenemos los valores **$x = 5$** y **$x = -1$**.

Para determinar el signo de $f'(x)$, dividimos la recta real usando los puntos críticos ($x=-1, x=5$) y el punto de discontinuidad ($x=2$): $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 2) & 2 & (2, 5) & 5 & (5, +\infty) \\\hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & - & 0 & + \\ f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ **Análisis de intervalos:** - En $(-\infty, -1)$ y $(5, +\infty)$: $f'(x) > 0$, la función es **creciente**. - En $(-1, 2)$ y $(2, 5)$: $f'(x) < 0$, la función es **decreciente**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} \text{Crecimiento: } & (-\infty, -1) \cup (5, +\infty) \\ \text{Decrecimiento: } & (-1, 2) \cup (2, 5) \end{aligned}}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "y = \\frac{2x^2 + 4x + 2}{x - 2}", "color": "#2563eb" }, { "id": "av", "latex": "x = 2", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "ao", "latex": "y = 2x + 8", "color": "#16a34a", "lineStyle": "DASHED" } ], "bounds": { "left": -15, "right": 15, "bottom": -20, "top": 40 } } }