Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**A. [1,25 PUNTOS] Calcule el intervalo de confianza del 93 % para el tiempo medio que los estudiantes tardan en completar un examen.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la variable $X$, que representa el tiempo en completar el examen: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 10$ minutos. - Tamaño de la muestra: $n = 100$ estudiantes. - Media muestral: $\bar{x} = 90$ minutos. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,93$ (lo que implica un nivel de significación $\alpha = 0,07$). La fórmula para el intervalo de confianza de la media poblacional $\mu$ es: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza nos da un rango de valores entre los cuales se encuentra la verdadera media de toda la población con una probabilidad determinada.

Para hallar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al $93\%$, realizamos el siguiente cálculo de probabilidad: 1. Calculamos la probabilidad acumulada: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - \frac{0,07}{2} = 1 - 0,035 = 0,965$$ 2. Buscamos en la tabla de la distribución normal estándar $N(0,1)$ el valor que deja por debajo una probabilidad de $0,965$: - Mirando la tabla, observamos que para $z = 1,81$, la probabilidad es $0,9649$. - Para $z = 1,82$, la probabilidad es $0,9656$. Tomamos el valor más aproximado (o la media si es exacto). En este caso, **$z_{\alpha/2} = 1,81$** es una aproximación válida usada habitualmente en Bachillerato. 💡 **Tip:** Recuerda que el nivel de confianza es el área central bajo la campana de Gauss; por eso sumamos la mitad de lo que falta ($1-\alpha/2$) para encontrar el valor en la tabla.

Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1,81 \cdot \frac{10}{\sqrt{100}} = 1,81 \cdot \frac{10}{10} = 1,81 \text{ minutos}$$ Ahora, aplicamos los límites al intervalo centrado en la media muestral $\bar{x} = 90$: - Límite inferior: $90 - 1,81 = 88,19$ - Límite superior: $90 + 1,81 = 91,81$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (88,19, \, 91,81)}$$

**B. [1,25 PUNTOS] ¿Cuál es el número mínimo de estudiantes que habría que considerar para que el error al estimar el tiempo medio empleado en completar un examen, con un nivel de confianza del 97 %, sea de 2 minutos?** En este apartado, cambian las condiciones: - El error máximo permitido es $E = 2$ minutos. - El nuevo nivel de confianza es $1 - \alpha = 0,97 \implies \alpha = 0,03$. - La desviación típica sigue siendo $\sigma = 10$. Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el $97\%$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{0,03}{2} = 1 - 0,015 = 0,985$$ Buscando en la tabla $N(0,1)$, encontramos que el valor exacto para una probabilidad de $0,985$ es: $$z_{\alpha/2} = 2,17$$ 💡 **Tip:** Siempre que busques el tamaño de la muestra $n$, asegúrate de recalcular el valor crítico si el nivel de confianza ha cambiado.

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores conocidos: $$n = \left( \frac{2,17 \cdot 10}{2} \right)^2 = \left( \frac{21,7}{2} \right)^2 = (10,85)^2$$ $$n = 117,7225$$ Como el número de estudiantes debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** de 2 minutos, debemos redondear siempre al entero superior para garantizar que el error no se supere. $n = 118$ estudiantes. ✅ **Resultado (Número mínimo de estudiantes):** $$\boxed{n = 118}$$