Probabilidad y Estadística 2024 Cantabria
Probabilidad en actividades escolares y consejo estudiantil
Ejercicio 6 [2,5 PUNTOS]
En un instituto, se sabe que el 45 % de los estudiantes practican algún deporte, el 30 % participan en actividades artísticas y el 25 % están involucrados en actividades de voluntariado. Además, se sabe que el 60 % de los estudiantes que practican deportes, el 40 % de los que participan en actividades artísticas y el 20 % de los que están involucrados en actividades de voluntariado también son miembros del consejo estudiantil. Si se escoge al azar un estudiante:
A. [0,5 PUNTOS] ¿Cuál es la probabilidad de que practique deporte y sea miembro del consejo estudiantil?
B. [0,5 PUNTOS] ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante participe en actividades artísticas y no sea miembro del consejo estudiantil?
C. [0,75 PUNTOS] ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante sea miembro del consejo estudiantil?
D. [0,75 PUNTOS] Si un estudiante no es miembro del consejo estudiantil, ¿cuál es la probabilidad de que participe en actividades de voluntariado?
Paso 1
Definición de sucesos y esquema del problema
Para resolver el problema, primero definimos los sucesos principales basados en la actividad que realiza el estudiante:
- $D$: El estudiante practica algún **deporte**.
- $A$: El estudiante participa en actividades **artísticas**.
- $V$: El estudiante está involucrado en **voluntariado**.
- $C$: El estudiante es miembro del **consejo estudiantil**.
- $\bar{C}$: El estudiante **no** es miembro del consejo estudiantil.
Los datos del enunciado nos dan las siguientes probabilidades:
$P(D) = 0,45$
$P(A) = 0,30$
$P(V) = 0,25$
También tenemos las probabilidades condicionadas de pertenecer al consejo según la actividad:
$P(C|D) = 0,60 \implies P(\bar{C}|D) = 0,40$
$P(C|A) = 0,40 \implies P(\bar{C}|A) = 0,60$
$P(C|V) = 0,20 \implies P(\bar{C}|V) = 0,80$
💡 **Tip:** Recuerda que en cada nodo de un árbol de probabilidad, la suma de las probabilidades de las ramas que salen de él debe ser 1 (100%).
Paso 2
Representación mediante árbol de probabilidades
Visualizamos la situación con un diagrama de árbol para facilitar los cálculos de los siguientes apartados:
Paso 3
Apartado A: Intersección deporte y consejo
**A. [0,5 PUNTOS] ¿Cuál es la probabilidad de que practique deporte y sea miembro del consejo estudiantil?**
Buscamos la probabilidad de la intersección $P(D \cap C)$. Según la regla de la multiplicación para sucesos dependientes:
$$P(D \cap C) = P(D) \cdot P(C|D)$$
Sustituyendo los valores:
$$P(D \cap C) = 0,45 \cdot 0,60 = 0,27$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(D \cap C) = 0,27}$$
Paso 4
Apartado B: Intersección arte y no consejo
**B. [0,5 PUNTOS] ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante participe en actividades artísticas y no sea miembro del consejo estudiantil?**
Buscamos $P(A \cap \bar{C})$. Primero calculamos la probabilidad de no ser del consejo sabiendo que se es de arte:
$$P(\bar{C}|A) = 1 - P(C|A) = 1 - 0,40 = 0,60$$
Ahora aplicamos la definición de probabilidad de la intersección:
$$P(A \cap \bar{C}) = P(A) \cdot P(\bar{C}|A)$$
$$P(A \cap \bar{C}) = 0,30 \cdot 0,60 = 0,18$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(A \cap \bar{C}) = 0,18}$$
Paso 5
Apartado C: Probabilidad total de ser del consejo
**C. [0,75 PUNTOS] ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante sea miembro del consejo estudiantil?**
Para hallar $P(C)$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando las probabilidades de ser del consejo en cada uno de los tres grupos (deporte, arte y voluntariado):
$$P(C) = P(D) \cdot P(C|D) + P(A) \cdot P(C|A) + P(V) \cdot P(C|V)$$
Sustituimos los valores calculados u obtenidos del enunciado:
$$P(C) = 0,45 \cdot 0,60 + 0,30 \cdot 0,40 + 0,25 \cdot 0,20$$
$$P(C) = 0,27 + 0,12 + 0,05$$
$$P(C) = 0,44$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso (ser del consejo) puede ocurrir a través de varias vías o particiones excluyentes del espacio muestral.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(C) = 0,44}$$
Paso 6
Apartado D: Probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
**D. [0,75 PUNTOS] Si un estudiante no es miembro del consejo estudiantil, ¿cuál es la probabilidad de que participe en actividades de voluntariado?**
Se nos pide la probabilidad condicionada $P(V|\bar{C})$. Usamos la fórmula de la probabilidad condicionada:
$$P(V|\bar{C}) = \frac{P(V \cap \bar{C})}{P(\bar{C})}$$
Calculamos los componentes:
1. **Numerador**: $P(V \cap \bar{C}) = P(V) \cdot P(\bar{C}|V) = 0,25 \cdot 0,80 = 0,20$.
2. **Denominador**: $P(\bar{C}) = 1 - P(C) = 1 - 0,44 = 0,56$.
Sustituimos en la fórmula:
$$P(V|\bar{C}) = \frac{0,20}{0,56}$$
Simplificamos la fracción:
$$P(V|\bar{C}) = \frac{20}{56} = \frac{5}{14} \approx 0,3571$$
💡 **Tip:** Este es un problema típico de Bayes. Siempre identifica primero qué te están preguntando ($P(A|B)$) y luego busca los elementos de la fórmula.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(V|\bar{C}) = \frac{5}{14} \approx 0,3571}$$