Álgebra 2024 Castilla y Leon
Optimización de beneficios en construcción de apartamentos
P1.
Una empresa constructora obtiene una licencia del ayuntamiento para construir dos tipos de apartamentos: T2 (de 2 habitaciones) y T3 (de 3 habitaciones). Cada apartamento T2 se venderá por 150 000 euros y cada apartamento T3 por 250 000 euros. La licencia del ayuntamiento obliga a cumplir una serie de condiciones: el número de apartamentos T2 construidos no puede exceder al doble de apartamentos T3, el número de apartamentos T3 no puede sobrepasar al triple de apartamentos T2 y, como máximo, se pueden construir 60 apartamentos en total.
Determinar, utilizando técnicas de programación lineal, el número de apartamentos de cada tipo que debe construir la empresa para obtener el máximo beneficio con su venta y cuál será ese beneficio.
Paso 1
Definición de variables y función objetivo
En primer lugar, definimos las variables de decisión que representan las incógnitas del problema:
$x$: número de apartamentos tipo T2 a construir.
$y$: número de apartamentos tipo T3 a construir.
El objetivo es maximizar el beneficio total obtenido por la venta. Según los precios de venta indicados ($150\,000$ € por T2 y $250\,000$ € por T3), la función objetivo $B(x, y)$ es:
$$B(x, y) = 150\,000x + 250\,000y$$
💡 **Tip:** Identificar claramente qué representa cada variable es el paso más importante para no confundir las restricciones después.
Paso 2
Planteamiento de las restricciones
Traducimos las condiciones impuestas por la licencia a desigualdades matemáticas:
1. **No negatividad:** El número de apartamentos no puede ser negativo:
$$x \ge 0, \quad y \ge 0$$
2. **T2 no excede al doble de T3:**
$$x \le 2y \implies x - 2y \le 0$$
3. **T3 no sobrepasa al triple de T2:**
$$y \le 3x \implies -3x + y \le 0$$
4. **Máximo de 60 apartamentos en total:**
$$x + y \le 60$$
El sistema de restricciones que define la región factible es:
$$\begin{cases} x - 2y \le 0 \\ -3x + y \le 0 \\ x + y \le 60 \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases}$$
Paso 3
Representación gráfica de la región factible
Para representar la región factible, dibujamos las rectas asociadas a cada restricción y determinamos el semiplano válido para cada una:
- $L_1: x = 2y$. Pasa por $(0, 0)$ y $(40, 20)$.
- $L_2: y = 3x$. Pasa por $(0, 0)$ y $(10, 30)$.
- $L_3: x + y = 60$. Pasa por $(0, 60)$ y $(60, 0)$.
La intersección de estos semiplanos forma un polígono cuyos vértices evaluaremos a continuación.
Paso 4
Cálculo de los vértices de la región factible
Los vértices de la región factible se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que se cortan:
- **Vértice A:** Intersección de $L_1$ y $L_2$.
Como ambas pasan por el origen, el punto es **$A(0, 0)$**.
- **Vértice B:** Intersección de $L_2$ ($y = 3x$) y $L_3$ ($x + y = 60$).
Sustituimos $y$ en la segunda ecuación:
$$x + 3x = 60 \implies 4x = 60 \implies x = 15$$
Sustituimos $x$: $y = 3(15) = 45$. Por tanto, **$B(15, 45)$**.
- **Vértice C:** Intersección de $L_1$ ($x = 2y$) y $L_3$ ($x + y = 60$).
Sustituimos $x$ en la segunda ecuación:
$$2y + y = 60 \implies 3y = 60 \implies y = 20$$
Sustituimos $y$: $x = 2(20) = 40$. Por tanto, **$C(40, 20)$**.
💡 **Tip:** Los vértices siempre son los candidatos a ser la solución óptima en programación lineal.
Paso 5
Evaluación de la función objetivo y solución final
Evaluamos la función de beneficios $B(x, y) = 150\,000x + 250\,000y$ en cada uno de los vértices:
- En **$A(0, 0)$**:
$$B(0, 0) = 150\,000(0) + 250\,000(0) = 0 \text{ euros}$$
- En **$B(15, 45)$**:
$$B(15, 45) = 150\,000(15) + 250\,000(45) = 2\,250\,000 + 11\,250\,000 = 13\,500\,000 \text{ euros}$$
- En **$C(40, 20)$**:
$$B(40, 20) = 150\,000(40) + 250\,000(20) = 6\,000\,000 + 5\,000\,000 = 11\,000\,000 \text{ euros}$$
El valor máximo se alcanza en el punto $B(15, 45)$.
✅ **Resultado final:**
La empresa debe construir **15 apartamentos de tipo T2** y **45 apartamentos de tipo T3** para obtener un beneficio máximo de **13 500 000 euros**.
$$\boxed{\text{15 T2, 45 T3; Beneficio: 13 500 000 €}}$$