Reparto de inversión en productos financieros

**Calcular el capital invertido en cada uno de los tres productos.** En primer lugar, definimos las variables que representan las cantidades invertidas en cada producto financiero: - $x$: Capital invertido en **acciones** (en euros). - $y$: Capital invertido en **bonos** (en euros). - $z$: Capital invertido en **depósitos** (en euros). A partir del enunciado, extraemos las tres condiciones para formar el sistema de ecuaciones: 1. **Total invertido:** La suma de los tres capitales es de 3 millones de euros. $$x + y + z = 3\,000\,000$$ 2. **Balance final:** El beneficio del $4\%$ en acciones ($1.04x$), y las pérdidas del $5\%$ en bonos ($0.95y$) y del $2\%$ en depósitos ($0.98z$) resultan en un total de $2\,934\,300$ €. $$1.04x + 0.95y + 0.98z = 2\,934\,300$$ 3. **Relación entre inversiones:** En bonos se invierte un $40\%$ más que en los otros dos juntos ($x+z$). Esto significa que $y$ es el $140\%$ de $(x+z)$. $$y = 1.4(x + z)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que aumentar una cantidad un $40\%$ equivale a multiplicarla por $1.4$, ya que $100\% + 40\% = 140\% = 1.4$.

Para trabajar con números más sencillos, vamos a simplificar las ecuaciones (2) y (3). En la **ecuación (2)**, multiplicamos por $100$ para eliminar los decimales: $$100(1.04x + 0.95y + 0.98z) = 100(2\,934\,300)$$ $$104x + 95y + 98z = 293\,430\,000$$ En la **ecuación (3)**, reorganizamos los términos: $$y = 1.4x + 1.4z \implies 1.4x - y + 1.4z = 0$$ Multiplicamos por $10$ para eliminar decimales: $$14x - 10y + 14z = 0$$ Dividimos entre $2$ para simplificar: $$7x - 5y + 7z = 0$$ El sistema resultante es: $$\begin{cases} x + y + z = 3\,000\,000 & \text{(I)} \\ 104x + 95y + 98z = 293\,430\,000 & \text{(II)} \\ 7x - 5y + 7z = 0 & \text{(III)} \end{cases}$$

Aprovechando la estructura de la ecuación (III), es muy sencillo despejar $x+z$ de la primera ecuación y sustituirlo. De la ecuación (I) despejamos la suma de las acciones y depósitos: $$x + z = 3\,000\,000 - y$$ Sustituimos esto en la ecuación simplificada de la relación de bonos ($y = 1.4(x+z)$): $$y = 1.4(3\,000\,000 - y)$$ $$y = 4\,200\,000 - 1.4y$$ $$y + 1.4y = 4\,200\,000$$ $$2.4y = 4\,200\,000$$ $$y = \frac{4\,200\,000}{2.4} = 1\,750\,000$$ Ya tenemos el capital en **bonos**: **$1\,750\,000$ €**.

Ahora sustituimos $y = 1\,750\,000$ en las ecuaciones (I) y (II) para obtener un sistema de dos variables: De (I): $$x + z = 3\,000\,000 - 1\,750\,000 \implies x + z = 1\,250\,000$$ De (II): $$104x + 95(1\,750\,000) + 98z = 293\,430\,000$$ $$104x + 166\,250\,000 + 98z = 293\,430\,000$$ $$104x + 98z = 293\,430\,000 - 166\,250\,000$$ $$104x + 98z = 127\,180\,000$$ Dividimos entre $2$ para simplificar: $$52x + 49z = 63\,590\,000$$ Resolvemos el sistema de dos ecuaciones: 1) $z = 1\,250\,000 - x$ 2) $52x + 49(1\,250\,000 - x) = 63\,590\,000$ $$52x + 61\,250\,000 - 49x = 63\,590\,000$$ $$3x = 63\,590\,000 - 61\,250\,000$$ $$3x = 2\,340\,000$$ $$x = \frac{2\,340\,000}{3} = 780\,000$$ Finalmente, calculamos $z$: $$z = 1\,250\,000 - 780\,000 = 470\,000$$

Una vez hallados los valores, comprobamos que cumplen las condiciones del enunciado y presentamos la solución: - Acciones ($x$): $780\,000$ € - Bonos ($y$): $1\,750\,000$ € - Depósitos ($z$): $470\,000$ € ✅ **Solución:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Acciones: } 780\,000 \text{ €} \\ \text{Bonos: } 1\,750\,000 \text{ €} \\ \text{Depósitos: } 470\,000 \text{ €} \end{cases}}$$