Continuidad de una función a trozos y cálculo de áreas

**a) Estudiar la continuidad de $f(x)$.** Para estudiar la continuidad, primero analizamos cada una de las funciones que forman las ramas: 1. En el intervalo $(-\infty, 0)$, la función es $f(x) = e^{-x} - 1$. Se trata de una función exponencial desplazada, la cual es continua en todo su dominio real. Por tanto, es continua en $(-\infty, 0)$. 2. En el intervalo $(0, +\infty)$, la función es $f(x) = x^2 + x$. Es una función polinómica de segundo grado, por lo que es continua en todo $\mathbb{R}$ y, específicamente, en $(0, +\infty)$. El único punto donde la continuidad podría verse comprometida es en el **punto de salto $x = 0$**. 💡 **Tip:** Una función definida a trozos es continua si lo es en el interior de sus intervalos y si los límites laterales coinciden con el valor de la función en los puntos de unión.

Para que $f(x)$ sea continua en $x = 0$, deben cumplirse tres condiciones: 1. **Existencia de $f(0)$:** Utilizamos la primera rama (donde está el símbolo $\le$): $$f(0) = e^{-(0)} - 1 = 1 - 1 = 0$$ 2. **Límites laterales en $x = 0$:** - Límite por la izquierda ($x \to 0^-$): $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} (e^{-x} - 1) = e^0 - 1 = 0$$ - Límite por la derecha ($x \to 0^+$): $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} (x^2 + x) = 0^2 + 0 = 0$$ 3. **Conclusión:** Como los límites laterales coinciden y son iguales al valor de la función, $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$, la función es continua en $x=0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función } f(x) \text{ es continua en todo } \mathbb{R}}$$

**b) Calcular el área limitada por la función $f(x)$ y el eje de abscisas en el intervalo $[0, 3]$.** En el intervalo $[0, 3]$, la variable $x$ es siempre mayor o igual a 0, por lo que trabajaremos exclusivamente con la segunda rama de la función: $$f(x) = x^2 + x$$ Debemos comprobar si la función corta al eje de abscisas ($y=0$) dentro del intervalo $(0, 3)$ para ver si el área cambia de signo: $$x^2 + x = 0 \implies x(x + 1) = 0$$ Las soluciones son $x = 0$ y $x = -1$. Como ninguna está en el interior del intervalo $(0, 3)$ y para cualquier valor $x \in (0, 3)$ la función es positiva (ej. $f(1)=2 > 0$), el área viene dada directamente por la integral definida: $$A = \int_{0}^{3} (x^2 + x) \, dx$$ 💡 **Tip:** Si la función cambiara de signo en el intervalo, deberíamos dividir la integral en varios trozos usando el valor absoluto para asegurar que el área siempre sea positiva.

Calculamos la integral definida paso a paso: 1. Hallamos la primitiva de $x^2 + x$: $$\int (x^2 + x) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}$$ 2. Aplicamos la **Regla de Barrow** en los límites $[0, 3]$: $$A = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{3}$$ 3. Sustituimos los valores: - En $x=3$: $\frac{3^3}{3} + \frac{3^2}{2} = \frac{27}{3} + \frac{9}{2} = 9 + 4.5 = 13.5$ - En $x=0$: $\frac{0^3}{3} + \frac{0^2}{2} = 0$ Operamos: $$A = 13.5 - 0 = 13.5 \text{ unidades de área}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = \frac{27}{2} = 13.5 \text{ u}^2}$$