Análisis de la variación del precio del oro

**a) Estudiar cómo crece y decrece el precio del oro a lo largo del mes.** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento (monotonía), primero debemos hallar la derivada de la función $P(t)$, ya que el signo de la derivada nos indica si la función sube o baja. Derivamos la función polinómica $P(t) = 0.04t^3 - 1.98t^2 + 24t + 58$: $$P'(t) = 3 \cdot 0.04t^2 - 2 \cdot 1.98t + 24$$ $$P'(t) = 0.12t^2 - 3.96t + 24$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar $t^n$ bajamos el exponente multiplicando y restamos uno al grado: $(t^n)' = n \cdot t^{n-1}$. $$\boxed{P'(t) = 0.12t^2 - 3.96t + 24}$$

Los puntos críticos son aquellos donde la derivada es igual a cero. Estos puntos dividen el dominio en intervalos de crecimiento y decrecimiento. Resolvemos $P'(t) = 0$: $$0.12t^2 - 3.96t + 24 = 0$$ Podemos simplificar la ecuación dividiendo todo entre $0.12$: $$t^2 - 33t + 200 = 0$$ Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$t = \frac{-(-33) \pm \sqrt{(-33)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 200}}{2 \cdot 1}$$ $$t = \frac{33 \pm \sqrt{1089 - 800}}{2}$$ $$t = \frac{33 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{33 \pm 17}{2}$$ Obtenemos dos valores: $$t_1 = \frac{33 + 17}{2} = \frac{50}{2} = 25$$ $$t_2 = \frac{33 - 17}{2} = \frac{16}{2} = 8$$ Ambos valores pertenecen al intervalo dado $[0, 30]$.

Utilizamos los puntos críticos $t=8$ y $t=25$ para estudiar el signo de $P'(t)$ en los intervalos resultantes dentro del dominio $[0, 30]$: - Para $t \in (0, 8)$, probamos con $t=1$: $P'(1) = 0.12 - 3.96 + 24 = 20.16 \gt 0$ (**Crece**). - Para $t \in (8, 25)$, probamos con $t=10$: $P'(10) = 0.12(100) - 3.96(10) + 24 = 12 - 39.6 + 24 = -3.6 \lt 0$ (**Decrece**). - Para $t \in (25, 30)$, probamos con $t=26$: $P'(26) = 0.12(676) - 3.96(26) + 24 = 81.12 - 102.96 + 24 = 2.16 \gt 0$ (**Crece**). **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|ccccc} t & (0, 8) & 8 & (8, 25) & 25 & (25, 30) \\\hline P'(t) & + & 0 & - & 0 & + \\\hline P(t) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El precio crece en } (0, 8) \cup (25, 30) \text{ y decrece en } (8, 25)}$$

**b) Averiguar los días en los cuales el precio del oro es máximo y mínimo y el valor del gramo de oro en esos días.** Según el análisis anterior, tenemos un máximo relativo en $t=8$ y un mínimo relativo en $t=25$. Como estamos en un intervalo cerrado $[0, 30]$, debemos evaluar el precio en esos puntos y en los extremos para confirmar los valores absolutos. - **Día 0:** $P(0) = 0.04(0)^3 - 1.98(0)^2 + 24(0) + 58 = 58 \text{ €}$ - **Día 8 (Máximo relativo):** $$P(8) = 0.04(512) - 1.98(64) + 24(8) + 58$$ $$P(8) = 20.48 - 126.72 + 192 + 58 = 143.76 \text{ €}$$ - **Día 25 (Mínimo relativo):** $$P(25) = 0.04(15625) - 1.98(625) + 24(25) + 58$$ $$P(25) = 625 - 1237.5 + 600 + 58 = 45.5 \text{ €}$$ - **Día 30:** $$P(30) = 0.04(27000) - 1.98(900) + 24(30) + 58$$ $$P(30) = 1080 - 1782 + 720 + 58 = 76 \text{ €}$$ Comparando valores: - El valor **máximo absoluto** es $143.76 \text{ €}$ y ocurre el **día 8**. - El valor **mínimo absoluto** es $45.5 \text{ €}$ y ocurre el **día 25**. 💡 **Tip:** En problemas con un intervalo cerrado, siempre verifica los extremos del intervalo para asegurar que has encontrado el máximo y mínimo absoluto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo: día 8 con } 143.76 \text{ €; Mínimo: día 25 con } 45.5 \text{ €}}$$