Probabilidad de desempleo por sexos

Primero, definimos los sucesos del problema para organizar la información: - $H$: La persona elegida es hombre. - $M$: La persona elegida es mujer. - $P$: La persona elegida está en paro. - $\bar{P}$: La persona elegida no está en paro (empleada). Del enunciado extraemos los siguientes datos: - $P(H) = 0,55$ (el 55 % son hombres). - Como solo hay hombres y mujeres en la población activa, $P(M) = 1 - 0,55 = 0,45$ (el 45 % son mujeres). - Probabilidad de estar en paro sabiendo que es hombre: $P(P|H) = 0,15$. - Probabilidad de estar en paro sabiendo que es mujer: $P(P|M) = 0,25$. Representamos esta información en un **árbol de probabilidad**:

**a) Calcular la probabilidad de que una persona elegida al azar de esta población esté en paro y sea mujer.** Buscamos la probabilidad de la intersección entre ser mujer ($M$) y estar en paro ($P$), es decir, $P(M \cap P)$. Aplicando la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(M \cap P) = P(M) \cdot P(P|M)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(M \cap P) = 0,45 \cdot 0,25 = 0,1125$$ 💡 **Tip:** En un árbol de probabilidad, para hallar la probabilidad de una intersección (un suceso "y" otro), simplemente multiplicamos las probabilidades a lo largo de la rama correspondiente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M \cap P) = 0,1125}$$

**b) Calcular la probabilidad de que una persona elegida al azar de la población activa en ese país esté en paro.** Para calcular la probabilidad de estar en paro $P(P)$, debemos tener en cuenta que una persona puede estar en paro siendo hombre o siendo mujer. Utilizaremos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(P) = P(H \cap P) + P(M \cap P)$$ $$P(P) = P(H) \cdot P(P|H) + P(M) \cdot P(P|M)$$ Calculamos cada término: - Por parte de los hombres: $P(H \cap P) = 0,55 \cdot 0,15 = 0,0825$ - Por parte de las mujeres: $P(M \cap P) = 0,1125$ (ya calculado en el apartado anterior) Sumamos ambos resultados: $$P(P) = 0,0825 + 0,1125 = 0,195$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso puede ocurrir a través de varios "caminos" o categorías excluyentes (en este caso, hombres y mujeres). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(P) = 0,195}$$

**c) Calcular la probabilidad de que una persona en paro, elegida al azar, sea hombre.** En este caso, nos dan una información previa: sabemos que la persona **está en paro**. Por tanto, es una probabilidad condicionada: $P(H|P)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(H|P) = \frac{P(H \cap P)}{P(P)}$$ Utilizamos los valores que ya hemos calculado en los pasos anteriores: - $P(H \cap P) = 0,0825$ (hombres en paro) - $P(P) = 0,195$ (total de personas en paro) Sustituimos: $$P(H|P) = \frac{0,0825}{0,195} \approx 0,4231$$ Si expresamos el resultado en forma de fracción para mayor precisión: $$P(H|P) = \frac{825}{1950} = \frac{11}{26}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes permite "invertir" la condición. Si conocemos $P(P|H)$, Bayes nos ayuda a encontrar $P(H|P)$. Siempre es la probabilidad de la rama favorable dividida por la probabilidad total del suceso condicionante. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(H|P) = \frac{11}{26} \approx 0,4231}$$