Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) ¿Entre qué valores se encuentra la verdadera longitud media, con un nivel de confianza del 90 %?** Primero, definimos la variable aleatoria $X$ como la longitud de las barras de metal (en milímetros). El enunciado indica que sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(\mu, 1.8)$$ Los datos de la muestra son: - Tamaño de la muestra: $n = 25$ - Media muestral: $\bar{x} = 195 \text{ mm}$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 1.8 \text{ mm}$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.90$ 💡 **Tip:** En los problemas de inferencia para la media, es fundamental distinguir entre la desviación típica de la población ($\sigma$) y el error estándar de la media ($\sigma/\sqrt{n}$).

Para un nivel de confianza del $90 \%$, tenemos: $$1 - \alpha = 0.90 \implies \alpha = 0.10 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.05$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.05 = 0.95$. Consultando la tabla de la distribución normal estándar $N(0,1)$: - Para una probabilidad de $0.9495$, $z = 1.64$ - Para una probabilidad de $0.9505$, $z = 1.65$ Tomamos el valor intermedio (o el más preciso según la tabla usada): $$z_{\alpha/2} = 1.645$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es el valor que deja un área de $\alpha/2$ a cada lado de la campana de Gauss.

La fórmula del intervalo de confianza para la media $\mu$ es: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible $E$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.645 \cdot \frac{1.8}{\sqrt{25}} = 1.645 \cdot \frac{1.8}{5}$$ $$E = 1.645 \cdot 0.36 = 0.5922$$ Ahora construimos el intervalo: $$IC = (195 - 0.5922, 195 + 0.5922) = (194.4078, 195.5922)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (194.4078, 195.5922)}$$

**b) ¿Qué tamaño mínimo debería tener otra muestra de barras de metal para alcanzar, con un nivel de confianza del 99 %, un error máximo de 0.5 milímetros en la estimación de $\mu$?** En este apartado cambian las condiciones: - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.99 \implies \alpha = 0.01 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.005$ - Error máximo: $E \le 0.5 \text{ mm}$ - Desviación típica: $\sigma = 1.8 \text{ mm}$ Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: Buscamos $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.005 = 0.995$. En las tablas de la normal: - Para una probabilidad de $0.9949$, $z = 2.57$ - Para una probabilidad de $0.9951$, $z = 2.58$ Utilizamos el valor habitual: $$z_{\alpha/2} = 2.575$$ 💡 **Tip:** Cuanto mayor es el nivel de confianza, mayor es el valor crítico y, por tanto, mayor será el tamaño de la muestra necesario para mantener el mismo error.

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores: $$n = \left( \frac{2.575 \cdot 1.8}{0.5} \right)^2$$ $$n = \left( \frac{4.635}{0.5} \right)^2 = (9.27)^2$$ $$n = 85.9329$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** $0.5$, debemos redondear siempre al entero superior para garantizar que el error sea menor o igual al pedido. $$n = 86$$ ✅ **Resultado (Tamaño mínimo):** $$\boxed{n = 86 \text{ barras}}$$