Resolución de una ecuación matricial

**Despejar la incógnita $X$ en la ecuación matricial $AX + B = C - 3X$.** El primer paso para resolver una ecuación matricial es agrupar todos los términos que contienen la incógnita $X$ en un lado de la igualdad (normalmente a la izquierda) y los términos constantes (matrices conocidas) en el otro. Partimos de la ecuación: $$AX + B = C - 3X$$ Sumamos $3X$ en ambos lados y restamos $B$ en ambos lados: $$AX + 3X = C - B$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en las ecuaciones matriciales, al mover términos sumando o restando, el orden no importa, pero sí importa mucho cuando multipliques matrices.

Para poder despejar $X$, debemos sacarla como factor común. En las matrices, la multiplicación no es conmutativa, por lo que debemos fijarnos si la $X$ multiplica por la derecha o por la izquierda. En este caso, la $X$ está a la **derecha** en ambos términos ($AX$ y $3X$). Además, el término $3X$ debe escribirse como $3IX$ (donde $I$ es la matriz identidad) para poder operar con la matriz $A$, ya que no podemos sumar un número escalar directamente con una matriz. $$AX + 3IX = C - B$$ $$(A + 3I)X = C - B$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $3X$ es equivalente a $3IX$. Si no ponemos la matriz identidad $I$, la expresión $(A+3)$ no tendría sentido matemático porque no se puede sumar un número a una matriz.

Para dejar sola a la $X$, debemos eliminar la matriz $(A + 3I)$ que la multiplica por la izquierda. Para ello, multiplicamos ambos miembros de la ecuación por la inversa $(A + 3I)^{-1}$ **por la izquierda**. $$(A + 3I)^{-1} \cdot (A + 3I)X = (A + 3I)^{-1} \cdot (C - B)$$ Como una matriz por su inversa es la identidad ($(A + 3I)^{-1}(A + 3I) = I$) y la identidad por cualquier matriz es esa misma matriz ($IX = X$): $$X = (A + 3I)^{-1}(C - B)$$ Para que esta solución sea válida, debemos suponer que la matriz $(A+3I)$ es una matriz cuadrada y que su determinante es distinto de cero ($|A+3I| \neq 0$), de modo que su inversa exista. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = (A + 3I)^{-1}(C - B)}$$ 💡 **Tip:** ¡Cuidado! Si multiplicas por la inversa por la izquierda en un lado del igual, **debes hacerlo también por la izquierda** en el otro lado.