Cálculo de asíntotas de una función racional

Para hallar las **asíntotas verticales**, buscamos los valores de $x$ que no pertenecen al dominio de la función. En una función racional, estos son los puntos donde el denominador se anula. Igualamos el denominador a cero: $$3x^2 + 3 = 0$$ $$3x^2 = -3$$ $$x^2 = -1$$ Como el cuadrado de un número real nunca puede ser negativo ($x^2 \ge 0$), esta ecuación **no tiene soluciones reales**. Esto significa que el denominador nunca se anula, por lo que el dominio de la función es todo el conjunto de los números reales: $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$. 💡 **Tip:** Las asíntotas verticales se encuentran habitualmente en los valores de $x$ que hacen que el denominador sea cero (puntos de discontinuidad no evitable). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existen asíntotas verticales}}$$

Para determinar si existen **asíntotas horizontales**, calculamos el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito ($+\infty$ y $-\infty$): $$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{6x^2 - 10x}{3x^2 + 3}$$ Estamos ante un límite de una función racional donde los grados del numerador y del denominador son iguales (ambos de grado 2). En estos casos, el límite es igual al cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{6x^2 - 10x}{3x^2 + 3} = \frac{6}{3} = 2$$ Como el límite es un valor finito, existe una asíntota horizontal. 💡 **Tip:** Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$, entonces la recta $y = L$ es una asíntota horizontal. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 2}$$

Para que una función racional tenga **asíntotas oblicuas**, el grado del numerador debe ser exactamente una unidad mayor que el grado del denominador ($n = m + 1$). En nuestra función: - Grado del numerador: 2 - Grado del denominador: 2 Como los grados son iguales, no cumple la condición. Además, al haber encontrado una asíntota horizontal, queda descartada la existencia de una asíntota oblicua en el mismo sentido del infinito. **Conclusión final:** - Asíntotas verticales: **No tiene**. - Asíntota horizontal: **$y = 2$**. - Asíntotas oblicuas: **No tiene**. 💡 **Tip:** Recuerda que la existencia de una asíntota horizontal en $x \to +\infty$ excluye la existencia de una asíntota oblicua en ese mismo sentido. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Única asíntota: } y = 2}$$