Probabilidad de precipitaciones (Distribución Normal)

Primero, definimos la variable aleatoria que describe el fenómeno y sus parámetros correspondientes. Sea $X$ la variable aleatoria que representa la precipitación anual en la localidad (en milímetros). Según el enunciado, esta variable sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N(632, 48)$$ Donde: - La media es $\mu = 632$ mm. - La desviación típica es $\sigma = 48$ mm. El objetivo es calcular la probabilidad de que las precipitaciones superen los 600 mm, es decir, hallar **$P(X \gt 600)$**. 💡 **Tip:** En una distribución normal $N(\mu, \sigma)$, el primer valor siempre es la media (centro de la campana) y el segundo es la desviación típica (dispersión).

Para poder utilizar las tablas de la distribución normal estándar $N(0, 1)$, debemos transformar nuestra variable $X$ en una variable $Z$ mediante el proceso de **tipificación**. La fórmula para tipificar es: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ Calculamos el valor de $Z$ para $X = 600$: $$z = \frac{600 - 632}{48} = \frac{-32}{48} = -\frac{2}{3} \approx -0,67$$ Por lo tanto, el problema se transforma en: $$P(X \gt 600) = P\left(Z \gt -0,67\right)$$ 💡 **Tip:** Tipificar nos permite saber a cuántas desviaciones típicas de la media se encuentra un valor concreto. En este caso, 600 mm está a 0,67 desviaciones típicas por debajo de la media.

Las tablas de la normal estándar $N(0, 1)$ suelen ofrecer probabilidades acumuladas hacia la izquierda para valores positivos, $P(Z \le z)$. Necesitamos adaptar nuestra expresión $P(Z \gt -0,67)$. 1. Por la **simetría** de la campana de Gauss, la probabilidad de que $Z$ sea mayor que un valor negativo es igual a la probabilidad de que $Z$ sea menor que el mismo valor en positivo: $$P(Z \gt -0,67) = P(Z \le 0,67)$$ Ahora ya podemos buscar directamente el valor $0,67$ en la tabla de la normal estándar. 💡 **Tip:** Recuerda las reglas básicas: $P(Z \gt -a) = P(Z \lt a)$ y $P(Z \gt a) = 1 - P(Z \le a)$ para valores positivos de $a$.

Buscamos el valor correspondiente a $z = 0,67$ en la tabla de la distribución $N(0, 1)$: - Buscamos en la columna de las unidades y décimas: **0,6** - Buscamos en la fila de las centésimas: **0,07** - La intersección nos da el valor: **0,7486** Por tanto: $$P(X \gt 600) = P(Z \le 0,67) = 0,7486$$ Esto significa que hay una probabilidad del **74,86%** de que las precipitaciones superen los 600 mm. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(X \gt 600) = 0,7486}$$