Programación lineal: Maximización de beneficios en una academia

**Calcular, utilizando técnicas de programación lineal, el número de estudiantes de cada curso que la academia ha de matricular para maximizar el beneficio mensual y cuál es ese beneficio máximo.** En primer lugar, definimos las variables de decisión que representan las cantidades que queremos calcular: - $x$: número de estudiantes matriculados en el curso elemental (A1). - $y$: número de estudiantes matriculados en el curso avanzado (A2). La función que queremos maximizar es la función de beneficio mensual, que denotaremos como $B(x, y)$. Según el enunciado, cada alumno de A1 aporta 145 € y cada uno de A2 aporta 150 €: $$B(x, y) = 145x + 150y$$ 💡 **Tip:** Identificar correctamente qué representan $x$ e $y$ es fundamental. En este caso, son cantidades discretas (personas), por lo que deben ser valores enteros no negativos.

Traducimos las condiciones del enunciado a un sistema de inecuaciones lineales: 1. **Máximo en A1:** Se pueden admitir como máximo 66 estudiantes: $x \le 66$. 2. **Mínimo en A2:** Se deben admitir 60 o más estudiantes: $y \ge 60$. 3. **Capacidad total:** El número total de alumnos no puede superar los 150: $x + y \le 150$. 4. **Proporción entre cursos:** El número de estudiantes de A1 debe ser inferior o igual a dos tercios de los de A2: $x \le \frac{2}{3}y$, que podemos reescribir como $3x - 2y \le 0$. 5. **No negatividad:** Como son personas, $x \ge 0$ e $y \ge 0$. El sistema de restricciones queda definido por: $$\begin{cases} x \le 66 \\ y \ge 60 \\ x + y \le 150 \\ 3x \le 2y \\ x \ge 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Para trabajar con la fracción $2/3$, es más sencillo multiplicar toda la inecuación por 3 para obtener coeficientes enteros: $3x \le 2y \implies 3x - 2y \le 0$.

Dibujamos las rectas asociadas a las restricciones para delimitar la región factible (donde se cumplen todas las condiciones): - $r_1: x = 66$ (Recta vertical). - $r_2: y = 60$ (Recta horizontal). - $r_3: x + y = 150$ (Pasa por $(0, 150)$ y $(150, 0)$). - $r_4: 3x - 2y = 0$ (Pasa por $(0, 0)$ y $(40, 60)$). La región factible es el polígono sombreado que cumple todas las desigualdades simultáneamente.

Para encontrar el máximo, debemos evaluar la función objetivo en los vértices del polígono: - **Vértice A:** Intersección de $x = 0$ e $y = 60$. $\implies A(0, 60)$ - **Vértice B:** Intersección de $y = 60$ y $3x = 2y$. $3x = 2(60) \implies 3x = 120 \implies x = 40$. $\implies B(40, 60)$ - **Vértice C:** Intersección de $x + y = 150$ y $3x = 2y$. Sustituimos $x = \frac{2}{3}y$ en la suma: $\frac{2}{3}y + y = 150 \implies \frac{5}{3}y = 150 \implies y = 90, x = 60$. $\implies C(60, 90)$ - **Vértice D:** Intersección de $x + y = 150$ y $x = 0$. $\implies D(0, 150)$ *Nota: La restricción $x \le 66$ no llega a ser activa porque el vértice con mayor valor de $x$ es $C(60, 90)$, donde $60 \lt 66$.*

Calculamos el beneficio $B(x, y) = 145x + 150y$ en cada vértice: - $B(A) = B(0, 60) = 145(0) + 150(60) = 9000 \text{ €}$ - $B(B) = B(40, 60) = 145(40) + 150(60) = 5800 + 9000 = 14800 \text{ €}$ - $B(C) = B(60, 90) = 145(60) + 150(90) = 8700 + 13500 = 22200 \text{ €}$ - $B(D) = B(0, 150) = 145(0) + 150(150) = 22500 \text{ €}$ El valor máximo se alcanza en el punto $D(0, 150)$. Esto significa que, dados los beneficios por curso, el beneficio máximo se obtiene matriculando al mayor número posible de alumnos en el curso A2 (que es el más rentable), incluso si eso implica no matricular a nadie en A1, siempre respetando el límite de espacio de 150 alumnos. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Se deben matricular 0 alumnos en A1 y 150 en A2. El beneficio máximo es de 22500 euros.}}$$