Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**a) Clasificar el sistema según su número de soluciones para los distintos valores de $a$.** En primer lugar, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & a \\ 1 & 5 & -2a \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & a & 3 \\ 1 & 5 & -2a & 1 \\ 3 & 2 & -1 & 1 \end{array}\right)$$ Para clasificar el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, que relaciona el rango de estas matrices con el número de incógnitas ($n=3$).

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $A$ mediante la regla de Sarrus para encontrar los valores críticos de $a$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & a \\ 1 & 5 & -2a \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} = [1 \cdot 5 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-2a) \cdot 3 + a \cdot 1 \cdot 2] - [3 \cdot 5 \cdot a + 2 \cdot (-2a) \cdot 1 + (-1) \cdot 1 \cdot (-1)]$$ Operamos paso a paso: $$|A| = [-5 + 6a + 2a] - [15a - 4a + 1]$$ $$|A| = [8a - 5] - [11a + 1] = 8a - 5 - 11a - 1 = -3a - 6$$ Igualamos a cero para hallar los valores que cambian el rango: $$-3a - 6 = 0 \implies -3a = 6 \implies a = -2$$ 💡 **Tip:** El determinante de una matriz $3\times3$ se calcula sumando los productos de las diagonales principales y restando los de las secundarias (Sarrus).

Analizamos el caso general donde el determinante es distinto de cero: **Caso 1: $a \neq -2$** Si $a \neq -2$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es máximo: $$\text{rg}(A) = 3$$ Como la matriz ampliada $A^*$ es de dimensión $3\times4$, su rango no puede ser mayor que $3$, por lo que: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = \text{nº de incógnitas}$$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, en este caso el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una **solución única**.

Analizamos qué ocurre cuando el determinante es cero: **Caso 2: $a = -2$** La matriz ampliada queda: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & -1 & 1 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A|=0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = 5 - (-1) = 6 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ orlando ese menor con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = [1 \cdot 5 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 \cdot 3 + 3 \cdot 1 \cdot 2] - [3 \cdot 5 \cdot 3 + 2 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (-1)]$$ $$= [5 - 3 + 6] - [45 + 2 - 1] = 8 - 46 = -38 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 en $A^*$ distinto de cero, $\text{rg}(A^*) = 3$. Dado que $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)** (no tiene solución). ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \neq -2: \text{ Sistema Compatible Determinado} \\ \text{Si } a = -2: \text{ Sistema Incompatible} \end{cases}}$$

**b) Resolver el sistema para $a = -1$.** Como $a = -1 \neq -2$, el sistema es Compatible Determinado. Sustituimos $a$ en el sistema: $$\begin{cases} x - y - z = 3 \\ x + 5y + 2z = 1 \\ 3x + 2y - z = 1 \end{cases}$$ El determinante de $A$ para este valor es: $$|A| = -3(-1) - 6 = 3 - 6 = -3$$ Utilizaremos la **Regla de Cramer** para hallar los valores de las incógnitas. 💡 **Tip:** La Regla de Cramer es muy útil cuando el sistema es pequeño ($3\times3$) y el determinante es un número sencillo.

Calculamos los determinantes asociados a cada variable: **Para x:** $$|A_x| = \begin{vmatrix} 3 & -1 & -1 \\ 1 & 5 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = [-15 - 2 - 2] - [-5 + 12 + 1] = -19 - 8 = -27$$ $$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{-27}{-3} = 9$$ **Para y:** $$|A_y| = \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = [-1 + 18 - 1] - [-3 + 2 - 3] = 16 - (-4) = 20$$ $$y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{20}{-3} = -\frac{20}{3}$$ **Para z:** $$|A_z| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = [5 - 3 + 6] - [45 + 2 - 1] = 8 - 46 = -38$$ $$z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{-38}{-3} = \frac{38}{3}$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{x = 9, \; y = -\frac{20}{3}, \; z = \frac{38}{3}}$$