Cálculo de parámetros y área de una función polinómica

**a) Averiguar los valores de $a$ y $b$ para que $f(x)$ tenga un extremo en el punto $(2, -8)$.** Para que la función tenga un extremo en el punto $(2, -8)$, deben cumplirse dos condiciones: 1. **El punto pertenece a la gráfica:** La función debe pasar por $(2, -8)$, es decir, $f(2) = -8$. 2. **Condición de extremo relativo:** La derivada primera en ese punto debe ser cero, es decir, $f'(2) = 0$. Calculamos primero la derivada de $f(x) = ax^3 + 3x^2 + bx - 4$: $$f'(x) = 3ax^2 + 6x + b$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si un punto $(x_0, y_0)$ es un extremo, se cumple que la curva pasa por él ($f(x_0)=y_0$) y que la pendiente de la tangente allí es nula ($f'(x_0)=0$).

Aplicamos las condiciones anteriores: **1) $f(2) = -8$:** $$a(2)^3 + 3(2)^2 + b(2) - 4 = -8$$ $$8a + 12 + 2b - 4 = -8 \implies 8a + 2b + 8 = -8 \implies 8a + 2b = -16$$ Dividiendo entre 2 para simplificar: $$4a + b = -8 \quad \text{(Ecuación 1)}$$ **2) $f'(2) = 0$:** $$3a(2)^2 + 6(2) + b = 0$$ $$12a + 12 + b = 0 \implies 12a + b = -12 \quad \text{(Ecuación 2)}$$ Resolvemos el sistema por el método de resta (reducción): $$(12a + b) - (4a + b) = -12 - (-8)$$ $$8a = -4 \implies a = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}$$ Sustituimos $a = -0.5$ en la Ecuación 1: $$4(-1/2) + b = -8 \implies -2 + b = -8 \implies b = -6$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -\frac{1}{2}, \quad b = -6}$$

**b) Si $a = 0$ y $b = -11$, hallar el área encerrada entre la gráfica de la función y el eje OX en el intervalo $[4, 5]$.** Con los nuevos valores, la función es: $$f(x) = 3x^2 - 11x - 4$$ Para calcular el área en el intervalo $[4, 5]$, primero debemos comprobar si la función corta al eje $OX$ (donde $f(x)=0$) dentro de ese intervalo. $$3x^2 - 11x - 4 = 0$$ Resolvemos usando la fórmula general: $$x = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4(3)(-4)}}{2(3)} = \frac{11 \pm \sqrt{121 + 48}}{6} = \frac{11 \pm \sqrt{169}}{6} = \frac{11 \pm 13}{6}$$ Las soluciones son: $$x_1 = \frac{11 + 13}{6} = 4, \quad x_2 = \frac{11 - 13}{6} = -\frac{1}{3}$$ Como la única raíz en el intervalo $[4, 5]$ es el propio extremo $x=4$, la función no cambia de signo en el interior del intervalo $(4, 5)$. Evaluamos un punto (p.ej. $x=4.5$) para ver el signo: $$f(4.5) = 3(4.5)^2 - 11(4.5) - 4 = 60.75 - 49.5 - 4 = 7.25 > 0$$ La función es positiva en todo el intervalo, por lo que el área es simplemente la integral definida. 💡 **Tip:** Siempre comprueba los puntos de corte con el eje $OX$. Si hubiera una raíz entre 4 y 5, tendrías que dividir la integral en dos partes.

Calculamos el área mediante la regla de Barrow: $$\text{Área} = \int_{4}^{5} (3x^2 - 11x - 4) \, dx$$ Primero hallamos la primitiva: $$F(x) = \int (3x^2 - 11x - 4) \, dx = x^3 - \frac{11x^2}{2} - 4x$$ Aplicamos los límites de integración: $$\text{Área} = \left[ x^3 - \frac{11x^2}{2} - 4x \right]_{4}^{5}$$ $$= \left( 5^3 - \frac{11(5^2)}{2} - 4(5) \right) - \left( 4^3 - \frac{11(4^2)}{2} - 4(4) \right)$$ $$= \left( 125 - \frac{275}{2} - 20 \right) - \left( 64 - 88 - 16 \right)$$ $$= (105 - 137.5) - (-40) = -32.5 + 40 = 7.5$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = 7.5 \text{ u}^2 = \frac{15}{2} \text{ u}^2}$$