Análisis de la velocidad de respuesta de un servidor

**a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la velocidad de respuesta del servidor según la memoria requerida. ¿Cuánta es la memoria requerida al alcanzar la velocidad de respuesta máxima? Calcular esa velocidad máxima. (2 puntos)** Para estudiar el crecimiento y los extremos de la función $f(x) = 8.5 + \frac{3x}{1 + x^2}$, primero calculamos su derivada $f'(x)$. La derivada de la constante $8.5$ es $0$. Para el segundo término, aplicamos la regla del cociente: $$f'(x) = 0 + \frac{(3x)'(1+x^2) - (3x)(1+x^2)'}{(1+x^2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{3(1+x^2) - 3x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{3 + 3x^2 - 6x^2}{(1+x^2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{3 - 3x^2}{(1+x^2)^2}$$ Podemos simplificar factorizando el numerador: $$f'(x) = \frac{3(1 - x^2)}{(1+x^2)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la regla del cociente es $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. En este caso, $u=3x$ y $v=1+x^2$.

Los puntos críticos ocurren donde $f'(x) = 0$. Igualamos el numerador a cero: $$3(1 - x^2) = 0 \implies 1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$$ Como el enunciado especifica que la memoria requerida es $x \ge 0$, el único punto crítico válido es: $$x = 1 \text{ terabyte}$$ 💡 **Tip:** Aunque matemáticamente obtenemos dos soluciones, en problemas de contexto real debemos descartar aquellas que no pertenecen al dominio físico del problema (la memoria no puede ser negativa).

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico dentro del dominio $[0, +\infty)$. El denominador $(1+x^2)^2$ siempre es positivo, por lo que el signo depende solo de $(1-x^2)$. $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ - En el intervalo $(0, 1)$, si tomamos $x=0.5$: $f'(0.5) = \frac{3(1-0.25)}{(1+0.25)^2} \gt 0$, luego la función es **creciente**. - En el intervalo $(1, +\infty)$, si tomamos $x=2$: $f'(2) = \frac{3(1-4)}{(1+4)^2} \lt 0$, luego la función es **decreciente**. ✅ **Intervalos:** - **Crecimiento:** $(0, 1)$ - **Decrecimiento:** $(1, +\infty)$

Al pasar de creciente a decreciente en $x=1$, tenemos un **máximo relativo** (que en este caso es absoluto para $x \ge 0$). La memoria requerida para alcanzar la velocidad máxima es **$x = 1$ terabyte**. Calculamos la velocidad máxima sustituyendo $x=1$ en la función original: $$f(1) = 8.5 + \frac{3(1)}{1 + 1^2} = 8.5 + \frac{3}{2} = 8.5 + 1.5 = 10 \text{ Gbps}$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{\text{Crece en } (0, 1), \text{ decrece en } (1, +\infty). \text{ Memoria: } 1 \text{ TB}. \text{ Velocidad máxima: } 10 \text{ Gbps.}}$$

**b) ¿Cuál es el límite de velocidad de respuesta del servidor a medida que aumenta la memoria requerida? (1 punto)** Se nos pide calcular el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito: $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left( 8.5 + \frac{3x}{1 + x^2} \right)$$ Por las propiedades de los límites: $$\lim_{x \to +\infty} 8.5 + \lim_{x \to +\infty} \frac{3x}{1 + x^2}$$ En la fracción, el grado del denominador ($2$) es mayor que el grado del numerador ($1$). Por tanto, el límite de la fracción es $0$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{3x}{1 + x^2} = 0$$ Así: $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 8.5 + 0 = 8.5 \text{ Gbps}$$ 💡 **Tip:** Cuando el grado del denominador es mayor que el del numerador en un límite al infinito de una función racional, el resultado siempre es cero. ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{8.5 \text{ Gbps}}$$